Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
в. точной Р1-:ш1?нин задачи
Только что указанное приближенное решение задачи отыскания доверительных границ было основано на замене точного биномиального распределения (2) из § 5 некоторым непрерывным распределением (1) из §6. Как показывает рис. 4, аппроксимирующая кривая иногда расположена ниже, а иногда выше точной ступенчатой линии. Вследствие этого точное значение доверительного уровня для приближенных доверительных границ в зависимости от истинного значения вероятности3 р иногда оказывается несколько больше, а иногда несколько меньше, чем 2/3.
1 Wrgmann F., Die operative Behandlung der Bronchektasion, Diss. Zurich, 1955, Zusammenfassung, S. 39.
2 5%-ной границей называется такая доверительная граница, которой соответствует доверительный уровень 0,05. — Прим. перев.
3 В заметке van der Waerden В. L., Vei'traucngrenzen fur un-hekannte Wahrscheinlichkeitcn, Sitzungsber. sachs. Akad. Wiss., 01 (1939), 213, имеется график доверительного уровня как функции р, для предельного случая редких событий.
,¦? 7. Доверительные границы для неизвестной вероятности 49
Однако, следуя Клопперу и Е. Пирсону1, можно указать такие доверительные границы, для которых доверительный уровень «г 2/?, причем вероятность выхода за каждую из обеих доверительных границ не превышает Рассмотрим точную формулу биномиальных вероятностей
Если р не слишком близка к 0 или к 1, то Wk с ростом к сначала монотонно возрастает, в некоторой точке к, близкой к пр, она принимает наибольшее значение и затем монотонно убывает (см. рнс. 3). Сумма всех Wk равна единице:
Односторонняя доверительная граница с доверительным уровнем =« /3 определяется следующим образом. Пусть К — целое число (0 «г К < п). Образуем из (8) частичную сумму от 0 до К:
SK(p) равна вероятности того, что к примет какое-либо из значений от 0 до К.
Если SK продифференцировать пор и затем привести подобные члены, то мы получим следующую отрицательную функцию:
Попутно заметим, что из (10) следуеч интересное интегральное представление SK(p) в виде «неполной бета-функции»:
Однако теперь мы воспользуемся лишь тем обстоятельством, что. в силу (10), SK является непрерывной убывающей функцией
1 С 1 о р р с г С. J. and Pearson Е. S., Biometrika, 2(> (1934), 404.
4 Б. JL вап дер Варден - 1062
(7)
П
2wk(p) = 1.
(8)
О
к
sk(p) =--2wk(p).
О
О)
(10)
1
SK(P) =j
п!
Kf(n^ К —Tjl
ХК (1 — fix =
P
(П)
0
50 Гл. II. Вероятности и частоты
от р, которая прир =- 0 принимает значение 1, а прир = 1 — зна-чение 0. Отсюда следует, что SK один и только один раз принимает любое промежуточное значение. Следовательно, для каждого К < п можно определить рк так, чтобы при р = рк функция SK(p) принимала значение /3:
8к(Рк) = Р-
Клоппер и Пирсон сс!юрмулировали следующее правило: Если в некотором эксперименте получена частота k/n, торк следует принять в качестве верхней доверительной границы, т. е. отбросить все те значения р, которые больше, чем рк. В этом случае можно утверждать, что вероятность ошибочно отбросить истинное значение р меньше /3.
Доказательство. Если истинное р отброшено, то это значит, что р > рк. Так как Sk является убывающей функцией р, то отсюда следует, что
Я*(Р) < Sk(Pk) = Р-
Пусть К — наибольшее из тех значений индексов т, для которых Sr(p) < /3, тогда к =г К, т. е. к совпадает с одним из значений 0, 1, . . . , К. Но вероятность того, что к примет одно из значений от 0 до К, в точности равна SK(p) и, следовательно, она меньше /3, что и требовалось доказать.
Таким образом, для к< п верхняя доверительная граница рк совпадает с решением уравнения
W0 (р) + Wx{p) + • • • + Wk(p) = p.
Аналогично если к> 0, то соответствующая нижняя доверительная граница является решением уравнения
Wkip) + Wk+1(p) + . . . 4 Wn(p) = p.
При к = 0 нижней доверительной границей является, конечно, нуль и точно так же при к = п верхней доверительной границей является единица.
Точные доверительные границы, определенные по Клопперу и Пирсону, значительно шире, чем приближенные границы рх и р2, описанные выше в разделе Б этого параграфа1. Это связано
1 Если п —> оо, то можно показать, что отношение длин приближенного и точного доверительных интервалов стремится к единице, следовательно, эти интерпалы асимптотически эквивалентны. При этом разность между приближенной и точной границами стремится к пулю. Для практического построения точных доверительных границ с доверительными уровнями Р = 0,005 и р — 0,025 удобно пользоваться таблицами, имеющимися в книге Дунина-Барковского И. В. и Смирнова Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть), ГИТТЛ, М., 1955. — Прим. перев.
