Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(2-13)
Введем новые координаты
х' = ^2cikxk (2.14)
к
с дополнительным условием
^ ^ Cik^ie — $кеу (2.15)
тогда (2.13) переходит
{ЕГ* (щ - -л) -*§|^ = 0, (2.16)
где
Г* = 5>*Г« (2.17)
к
но так как удовлетворяет соотношениям (2.1), то уравнениям (2.13) и (2.16) удовлетворяет функция ф одной и той же формы.
С точки зрения теории Заутера и Г& эквивалентны и поэтому мы имеем только одно уравнение Дирака, инвариантное относительно пространственного вращения. Если же, как обычно, Г& и ф заданы в виде матриц, то при повороте координат меняется либо форма Г, либо форма ф и поэтому матричный метод значительно менее универсален.
Другим примером простоты метода Заутера является переход от уравнения Дирака к уравнению Паули.
Дополнения
Запишем уравнение Дирака в виде
{-*с(р - § 21, 0) + (Е - У)Г4 - Е0] = О
И ПОЛОЖИМ
Ф = (1 + Wl + (1 - Г4)^2,
где фг, ф2 не содержат Г4. Тогда, подставляя в (1.18), получим (1 + Г4) [-*с(р - f 21, 0)V>2 + (Е — V — Е0)ф1\ +
+(1 - Г4) [-*с(р - |2l, 0)^i - (Е - V + Е0)ф2
Умножая на нулевые делители
±(1+Г4); ±(1-Г4),
получаем два уравнения
—ic (р -
= О
ic (р - §21, 0) ф2 + (Е - V - Ео)ф1 = О -ic (р - §21, 0))V>i - (Е - V + Е0)ф2 = 0.
207
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Как легко видеть, в нерелятивистском случае Е — Eq = w <С Eq и ф2- Тогда, исключая ф2 из уравнения (2.22), (2.23), получаем
-с2 (р - §21, 0)2 ф + (w - v)(2Е0 - V - у)ф = 0. (2.24)
После небольших преобразований, полагая для сокращения
-г0Г1Г2Г3 = s, (2.25)
получаем
-с2 (р - §2l) ф + 1^г(?)5)ф = уф. (2.26)
Легко убедиться, что операторы (2.25) удовлетворяют перестановоч-
ным соотношениям
*: = 1
&y&Z Н- &Z&y — Ъ(Тх')
(2.27)
208
Дополнения
имеющим место для матриц Паули. Поэтому уравнение (2.26) является ничем иным, как уравнением Паули. Из доказательства следует, что инвариантность относительно преобразования Лоренца, доказанная для уравнения Дирака в §23, не имеет места для уравнения (2.26), но инвариантность относительно пространства вращения сохраняется.
Действительно, введенный в (2.25) оператор
преобразуется при вращении как аксиальный вектор, т. е. так же, как и член уравнения, содержащий Н. Поэтому вышедоказанная инвариантность уравнения Дирака относительно пространственного вращения имеет место и для уравнения Паули.
С помощью метода Заутера можно легко решить и задачу о движении электрона в центральном силовом поле. Мы даем здесь решение, несколько отличающееся от предложенного Заутером1.
Уравнение Дирака в силовом поле с центральной симметрией имеет
вид
Найдем операторы, коммутирующие с функцией Гамильтона нашей задачи и между собою. Введем систему полярных координат. Тогда искомые операторы имеют вид
Физический смысл второго оператора определяется его связью с оператором М
представляющим собою сумму орбитального и спинового моментов. А именно:
5 — —г(Г2Г3, Г3Г1, Г\Г2)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
Р=[ 1 - ([tV] 0) г1г2г3] г4.
(2.31)
м = [tV] + ^бГхГгГз,
(2.32)
Р2 = -М2 +
(2.33)
tauter, Z.f.Phys., 97, 777 (1935).
Дополнения 209
Вместо оператора Mz будем, как это обычно делается, рассматривать оператор М2.
Будем искать решение, удовлетворяющее одновременно уравнению (2.29) и уравнениям
М2ф = -М2ф, (2.34)
Рф = (j + Ф- (2.35)
Минус в (2.34) вводится потому, что оператор Mz содержит г, в то время как оператор Р действителен.
Уравнение (2.34) с помощью (2.30) можно записать в виде
® I lr1 ^ _ Л/Г2„
откуда
я / 1 \ 1 Г л / 1 \
ф = 0. (2.37)
dip
# + (м + 1)ГЛ |--(м-1)гЛ
Решение этого уравнения имеет вид
ф = e^c(M-\W + е-пг2с(м+у2)?>5 (238)
где ci, С2 — постоянные интегрирования. Так как Г1Г2Г3Г4 = 1, то Г1Г2 играет роль мнимой единицы (см. далее).
Из уравнения (2.35) с помощью (2.31) получаем
[1 - ([tV]0)r1r2r3]r4V’ = (j + i) ф. (2.39)
Пользуясь свойствами приводимости, мы можем получить два независимых решения
