Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет уравнению
^ а dl+1 (cos па)
у/пЦп2- 1)... (п^Р) d(cos e*)/+1
Щп, с) = sin'а -----------^ (1л8)
По четырехмерной группе вращении преобразуются собственные функции не только дискретного, но и непрерывного спектра.
В случае дискретного спектра мы можем рассматривать уравнение (1.4) как уравнение для функций на поверхности гипершара в четырехмерном пространстве Евклида. В этом случае пространство импульсов удовлетворяет геометрии Евклида с положительной постоянной кривизной.
Для непрерывного спектра уравнение (1.4) является уравнением для функций на поверхности двуполого гиперболоида в псевдоевкли-довом пространстве. В этом случае уравнение Шредингера распадается на два уравнения: для значений импульсов 0 < р < л/2те и л/2тг < р < оо. Для непрерывного спектра в пространстве импульсов имеет место геометрия Лобачевского с постоянной отрицательной кривизной.
204
Дополнения
2. Теория Заутера (к § 14, 23)
Соображения, изложенные в конце §14, были развиты Заутером1. Матричные операторы уравнения Дирака удовлетворяют соотношению
в остальном же совершенно произвольны. Но соотношениям (2.1) удовлетворяют не только четырехрядные матрицы, но и другие операторы (например, кватернионы, восьмирядные матрицы и т. д.). Поэтому Зау-тер исследовал вопрос, нельзя ли решить уравнение Дирака независимо от выбора вида этих операторов.
Как указывалось выше (см. § 14), операторы Дирака образуют систему гиперкомплексных чисел с 16 базисными элементами (14.7). Собственные функции уравнения Дирака можно представить в виде линейных комбинаций этих 16 величин. Тогда решение уравнения Дирака сводится к определению коэффициентов этой линейной комбинации.
Из 16 базисных величин (14.7) можно построить ряд гиперкомплексных чисел вида
Некоторые из этих чисел обладают обратными, так что имеет место соотношение
Числа, не имеющие обратных, называются «нулевыми делителями». Число с содержит 16 независимых параметров. При умножении на нормальный делитель число независимых параметров уменьшается. Это свойство нормальных делителей называют «способностью приводить числа с». Число, дающее отношение числа оставшихся параметров к исходному их числу, называется «степенью приведения». Для 16 компонентных чисел (2.2) возможны нормальные делители со степенями приведения s = 1/2, У4, %, У16.
При пользовании волновыми функциями вида (2.2) задача решения уравнения Дирака сводится к задаче о решении 16 линейнонезависимых уравнений для определения коэффициентов /*. Пользуясь свойством приводимости, мы можем уменьшить число коэффициентов в уравнении и тем самым значительно упростить задачу. Наиболее естественно пользоваться четырехкомпонентной функцией, так как эти 4
Г«Г/г + Г/гГг — 2 Sik,
(2.1)
с — /о + /1Г1 + /2Г2 + ... + /12Г12 + ... + + /123Г1Г2Г3 + ... + /1234Г1Г2Г3Г4.
(2.2)
сс 1 = 1
(2.3)
tauter, Z. f. Phys. 63, 803, 64, 296 (1930).
Дополнения
205
компоненты можно интерпретировать как связанные с двумя возможными значениями спина и знака лагранжевой функции. Поэтому числа (2.2) надо умножить на нормальный делитель со степенью приведения s = У4.
Заутер записывает волновую функцию в виде
Ф — (Л + /2Г1 + /3Г3 + /4Г].Гз)7 (2.4)
где 7 — нулевой делитель с s = У4 вида
7 = (1 + zTi^Xl + Г4). (2-5)
Кроме того, 7 является постоянным оператором, т. е., если воспользоваться матрицами Дирака, то
7 :
/о о о 0\
0 4 0 0
0 0 0 0 \о о о о/
(2.6)
Аналогично получаем для (2.4) ф =
/0 -if4 о 0\
о /1 о о
0 -*7а о 0
\о -*7з о о/
(2.7)
причем между fi и компонентами обычной дираковской функции могут быть установлены простые соотношения.
Очень интересны свойства адъюнгированных функций. Функция, адъюнгированная по отношению к (2.4), имеет вид
ф = (1 - *Г!Г2)(1 + Г4)(Д + /2Г1 + /3Г3 + /ЛГз). (2.8) Легко показать, что ф и ф взаимно ортогональны. Действительно
фГ4ф(1т = 0. (2.9)
I'
С другой стороны, из легко доказываемых соотношений
J фТ±ф<1т = J фТ^ф(1т,
J ф%Гф dr = — J ф%Гф dr,
J ф(ГГ1Г2зфГ dr = — J фгТТ1Т2Тъф dr,
(2.10) (2.11)
(2.12)
206
Дополнения
где Г вектор с компонентами Гь Г2, Г3 следует, что функции (2.4) и (2.8) описывают два ортогональных состояния, обладающих одинаковой плотностью зарядов и противоположно направленными векторами четырехмерного тока и магнитного момента. Поэтому можно считать, что адъюнгированные функции описывают различные ориентации спина.
Метод Заутера во многих случаях оказывается более общим и более удобным, чем обычный метод решения уравнения Дирака. Рассмотрим, например, поворот координатной системы. Пусть в системе х, у, z уравнение Дирака имеет вид
