Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1Если собственная функция записанная в цилиндрических координатах г, z, (р
не зависит от <р, как это должно быть при А = 0, то 'ф остается инвариантным при
отражении sy.
200
Глава VI
В относительном положении отдельных уровней энергии мы ориентируемся либо с помощью обоих граничных переходов р —>• оо и р —>• 0, имеющих, понятно, смысл и для одного электрона, либо путем непосредственного вычисления собственных функций задачи двух центров для одного электрона с помощью эллиптических координат или метода возмущений. Дальнейшие подробности читатель найдет в цитированной выше работе Гунда. При согласовании термов для малых, средних и больших р надо обратить внимание на то, что непрерывно переходят друг в друга только термы одинаковой «расы», т. е. с равными квантовыми числами симметрии (в нашем случае Л, S и иногда г). Термы различной расы могут взаимно пересекаться без того, чтобы наступило взаимное возмущение, тогда как термы с одинаковой расой, как правило, не пересекаются и поэтому могут быть сопоставлены друг другу просто по порядку, один за другим (начиная с нижних).
Дополнения
1. Теория атома водорода по Фоку (к §4)
Как указывалось в § 4, энергетические уровни атома водорода вырождены. 21 + 1-кратное вырождение относительно магнитных квантовых чисел т связано с тем, что собственные функции атома водорода преобразуются по представлениям группы вращении. Но, кроме того, существует «случайное» вырождение относительно квантовых чисел /, которое до последнего времени не было исследовано.
Недавно Фок1 чрезвычайно изящно показал, что это вырождение связано с четырехмерной группой вращения.
Как известно, уравнение Шредингера в пространстве импульсов имеет форму
Это уравнение можно преобразовать, вводя прямоугольные координаты на поверхности четырехмерного шара в пространстве Евклида
(1.1)
где
(dp') = dp'x dp'y dp'z.
(1.2)
_ 2p0px
= sin a sin v cos (p
ZPoPy
%J
= sin a sin $ sin ip
(1.3)
? _ ZPoPz
= sin a cos a
гУ. Fock, Zur Theorie des Wasserstoffatoms, Z. f. Phys., 98, 145 (1935).
202 Дополнения
Тогда уравнение (1.1) принимает вид
ф(а, *,»,) = Л / 'l’W' y'),in'. (1-4)
2тг J 4 sin2 ^
где
V>(«, 1?, ?>) = /2Ьо +Р2)ФР (1-5)
Ро = V~2mE (1.6)
Л = Zme2 | hpo (1.7)
sin f = (? - О2 + (t? - V)2 + (С - С')2 + (X - x')2, (1.8)
причем функция (1.5) удовлетворяет условию
JL j Иа, = j |v>(p)|2(rfp) = l. (1.9)
Введем новые переменные
x\ = r?; Ж2 = rrj\ хз = r?; Ж4 = (1-Ю)
и рассмотрим четырехмерное уравнение Лапласа
±щ = «- ('¦“>
г=1 г
По теореме Грина для любой функции и, гармонической внутри шара, имеем
и(жх, ж2, Ж3, ж4) = J + и) Gdfl1, (1.12)
где G — «функция Грина третьего рода»
Q — ____________1______________I__________1___________ Ц
2(г2 - 2rr' cos о; + г'г) 2(1 - 2rr'cosw + rV2)
Для гармонической функции
U = гп~1фп(а, v, <р) (1.14)
Дополнения
203
из (1.12) и (1.13) получаем при
I . , . п f v'i <p')dil . .
1фп(а, v,<p) = f^ ;wV ’ 'V) 1.15
27TZ J 1 — 2r cos и + rL
ГрП 1 n
при r — 1 уравнение (1.15) совпадает с (1.4) — уравнением Шредингера в пространстве импульсов при условии, что
А = п, (1-16)
т. е. Л играет роль главного квантового числа. Таким образом, урав-
нение Шредингера в пространстве импульсов является интегральным уравнением для четырехмерных шаровых функций. Поэтому уравнение Шредингера для атома водорода должно преобразовываться по четырехмерной группе вращений.
Четырехмерные шаровые функции имеют вид
Фп1т{а, V, (р) = Пг(и, a)Y{-m)(v, ip), (1.17)
где Y^m\v, tp) — обычная трехмерная шаровая функция, а П;(п, а)
