Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Сопряженные элементы группы: а и Ъ~хаЪ имеют тот же самый след, так как
S(B~1AB) = S(A).
Следы и характеры являются функциями сопряженных систем или «классов». Для каждой системы сопряженных элементов группы они имеют одно и то же значение.
Следы и характеры являются часто употребляемым вспомогательным средством для разложения заданного представления на неприводимые представления. Это разложение производится с помощью «соотношений ортогональности», которые мы сейчас выведем.
Пусть
s A(s), s В(з)
— два неприводимых представления конечной группы 0. Если С любая матрица, отображающая пространство второго представления в пространство первого, то сумма
P = '?A(t)CB(t~1)
t
(суммирование производится по всем элементам группы) является также изображением второго пространства в первом, коммутирующим со всеми элементами s группы
A(s)P = A(s) X АфСВЦ-1) = X A(st)CB(t~1 s~1)B(s) = PB(s). t t
По лемме Шура (§ 13) отсюда следует:
Р = 0, когда представления A(t) и B(t) неэквивалентны,
Р = /ЗЕ, когда представления одинаковы.
Выписывая это подробно, получаем
/,\ , /,-i\ Г 0, когда A(s) и B(s) неэквивалентны,
2^ 2^ «*а{t)cxM ) = { когда A{a) = ад>
Л,д t
§ 15. Характеры
77
или, так как сд^ совершенно произвольны,
/ ч, /.-i\ _ / 0, когда A(s) и B(s) неэквивалентны,
2^ «xaW| при A(e) = B(e)j
(15.1)
Чтобы определить /3\^ в случае А = В. положим х = ту и просуммируем по гл Вследствие того, что I?(s_1)A(s) = A(s-1)A(s) = 1, слева каждый раз входят Sx^ и мы получаем
^2 &Х» = ^ &vv
t V
Если h число элементов группы и п степень представления, то мы имеем
hS Ад = и/?Ад-Следовательно, (15.1) имеет вид
когда А, В неэквивалентны, Sx^S^, при А = В.
Если представление i?(s) унитарно, то B(t 1) = B(t), следователь-
fv(?_1) = bVfl(
но, b^t х) = bVfl(t) и поэтому
_ (0, когда А, В неэквивалентны,
I>„a(*)M*) = { hr е ТТПИ /4 ________ /? (15'2)
t У xv^Xfii При Л — JD.
Это и есть соотношение ортогональности для матричных элементов. Положим к = A; v — /1 и просуммируем по Л и /х, тогда мы получаем соотношение ортогональности для характеров
(15.3)
Нуль имеет место для характеров неэквивалентных представлений, h для характеров эквивалентных представлений.
Пусть х^\ ... , характеры различных неэквивалентных представлений и
s(t) = 5>x(A)W
78
Глава II
— след произвольного представления, содержащего с\ раз представление с номером Л, тогда из (15.3) следует
X S (t)xW (t) = c\h. (15.4)
t
Это уравнение позволяет вычислить числа сд из следа заданного представления и характеров неприводимых представлений. Одновременно мы видим, что след S(t) определяет представление однозначно с точностью до эквивалентности.
В особенности удобно уравнение (15.4), когда речь идет о том, чтобы разложить на неприводимые произведение представлений 2)д х 2)^. След матрицы произведения А х В
ЕЕ а\\Ъцц = Ъ^) = S(A)S(B),
Л /х Л /л
следовательно, след представления произведения 2)д х 2)^ является произведением следов умножаемых представлений.
Обозначим, например, три представления ©з через 3 (идентичное), 21 (антисимметричное) и Я (представление второй степени), тогда по этому методу получаем
3 х 3 = 3 21 х Я = 3 11x11 = 3 +21+ 11
3x21 = 21 21 х Я = Я
Л х Я = Я.
Глава III
Группа вращений и группа Лоренца
§ 16. Линейная группа С2, унитарная группа U2 и их отношение к группе вращений Ьз
Возьмем в качестве векторного пространства совокупность бинарных линейных форм Ciи\ + C2U2 двух переменных щ и U2- Преобразования А специальной линейной группы С2 переводят базисные векторы 111, U2 В
Если в качестве эрмитовой формы взята единичная форма, то по § 7 унитарное преобразование А обладает следующими свойствами:
Для этого требуется а = 5, (3 = —7. Следовательно, специальная унитарная группа U2 состоит из преобразований
Заметим, что при каждом преобразовании с детерминантом 1, при котором векторные коэффициенты (di, с/2) ковариантно преобразуются в (ci, С2), выражение C2(li — C\d2 остается инвариантным. Поэтому
и[ =щ а + U2J и'2 =ui/3 + U2S.
Соответствующие матрицы
Легко убедиться, что обратное преобразование имеет вид
