Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, если целиком приводимое представление 3D = ЗУ +S2 + Н---+ Юн содержит как составную часть определенное неприводимое
представление 3? контрагредиентное к 3? то Для того, чтобы произведение представлений 3D х 3 = 3Di х 3Н---h 3D^ x 3 в своем разложении
содержало один раз тождественное представление, необходимо и достаточно, чтобы ^ было контрагредиентно к одному из 2)^.
Отсюда следует: для того чтобы произведение представлений 2) х 0 содержало в качестве составной части неприводимое представление 5, произведение представлений 2) х 0 х 3 должно, по крайней мере раз, содержать тождественное представление. Это соотношение симметрично относительно 3D, 0 и 3-
Для абелевых групп и вообще в случае представлений первой степени произведение представлений довольно тривиально. Если (х(а)) и (х'(а)) матрицы, представляющие элемент а группы, то (х(а)х'(а)) представляющая матрица для а в произведении представлений. Если представление 3D: а —> а первой степени, а другое представление 3D а —у А имеет любой характер, то произведение представлений дает а —у аА. Если ЗУ неприводимо, то 3D х ЗУ тоже неприводимо, потому что приводимая система аА при умножении всех матриц на а-1 дала бы приводимую систему А. Но при представлениях степени выше первой произведение неприводимых представлений может быть приводимо.
Пример 6. Вычислим и разложим на неприводимые произведения представлений . аксиальной группы инверсий (§ 10, при-
мер 3).
Базисными векторами представлений и 21^ (при А > 0 и // > 0)
являются и±\ и v±ll, а их произведениями------U-\vu\v
и U-xVjj,. Отражение sy переставляет первые два вектора и вторые два вектора между собой. В первой паре при вращении D^ появляется множитель е±г(Л+^)<? и она преобразуется поэтому по 21л+^. Во второй паре при Dp появляется множитель е±г(х~^) и она преобразуется в случае Л ф ц по 21|л_д|. В случае А = // оба вектора u\V-\ и U-\V\ остаются инвариантными по отношению к Dч>. Их сумма u\V-\ + U-\V\ при отражении sy умножается на +1, а их разность u\V-\ — U-\V\ — на —1.
§ 13. Матрицы, коммутирующие с данным представлением 65
Поэтому
21а X 21,, = 21л+р + 21|а_д| при \фц, оба > О,
21а х 21д = 212а + 21q + 210 при А = ц > 0.
Если /х = 0+, то произведение г^о и ^-л^о преобразуется так же, как и\ и U-\, т. е как 2li. Отсюда следует 21л х 210 = 21л (это имеет место также и при Л = 0±).
Для [1 — 0— и Л > 0 u\Vq и U-\vо преобразуются так же, как и\
и U-\, т. е. как 21л- Это дает
21л х = 21л (А > 0).
Если, наконец, Л = /х = О-, то произведение г^о остается инвариантным при вращении D^ и отражении sy. Отсюда имеем
21- х 21- = 21+.
§ 13. Матрицы, коммутирующие с данным представлением
Пусть и & — два векторных пространства с общей областью 0 операторов, производящих в обоих пространствах линейные преобразования. Далее, пусть задано линейное преобразование Т, которое операторно-гомоморфно отображает пространство в © или в некоторое подпространство пространства ©. Операторный гомоморфизм приводит к тому, что, когда Tv = w для каждого а из 0, преобразование Т также переводит av в aw, т. е.
Tav = aTv
или а коммутирует с Т. Теперь докажем лемму Шура.
Лемма Шура. Если 9Я неприводимо, mo Т либо является изоморфизмом, либо преобразует каждый вектор в нулевой вектор.
В первом случае эквивалентно неприводимому подпространству ©. Если © само неприводимо, то эквивалентно ©. В частности, если = © и для и © применяются одинаковые базисные векторы, то далее мы получаем: матрица Т является кратной единичной матрицей.
66
Глава II
Доказательство.
По закону гомоморфизма Т является изоморфным изображением дополнительного пространства У\/х. Если неприводимо, то должно иметь место или t = (0) или = t. Это и дает доказываемую альтернативу.
Чтобы доказать соотношение Т = тЕ в случае = ©, определим т так, что детерминант |Т — тЕ\ = 0. Так как одновременно с Т и Т — тЕ коммутирует со всеми а, то по только что доказанной части теоремы матрица Т — тЕ или представляет однозначное, следовательно, несингулярное преобразование, или равна нулю. Следовательно, если |Т - тЕ\ = 0, то Т — тЕ = 0, т. е. Т = тЕ. ш
То же самое соотношение Т = тЕ имеет место, если положить не = ©, а = ©, так как выбранные базисы и © соответствуют друг другу вследствие изоморфизма.
Мы определим теперь линейные преобразования, коммутирующие с целиком приводимой системой 0 линейных преобразований пространства Другими словами, согласно вышесказанному, мы определим операторные гомоморфизмы целиком приводимого пространства представлений с областью операторов 0.
Положим
= ti н- Х2 хг. (13.1)
Если пространства t, ... , преобразуются с помощью 0 эквивалентным образом, то мы вводим в них соответствующие базисные векторы такого рода, чтобы преобразования этих пространств представлялись одинаковыми матрицами. Пусть Т — линейное преобразование, гомоморфно отображающее в самого себя. Чтобы полностью знать преобразование Т, нужно знать только его действие на векторы ti, t2, ... , Xr. Т отображает ti в изоморфное с ti пространство ТХ\. Векторы w = Tv пространства ТХ\ можно разложить на компоненты по (13.1)
