Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
А — А 1 или
(16.1)
80 Глава III
коэффициенты (с2, —с\) этого выражения преобразуются контравари-антно в (ci, с2). Кроме того, в случае унитарной группы и2 выражение ci ci + с2с2 остается инвариантным и поэтому также и (ci, с2) преобразуется контравариантно по отношению к (ci, с2). Наконец, (с2, —с\) преобразуется при преобразовании и2 контравариантно по отношению к (с2, —ci), следовательно ковариантно к (ci, с2).
Можно получить представление групп С2 и U2, в которых базисными векторами служат «мономы» степени v
ul,ul~1u2,... ,и2, (16.2)
образующие пространство всех форм
coul + с\и^хи2 + ... + cvuv2.
Эти мономы, очевидно, линейно преобразуются преобразованиями А, так как А переводит u\uv^r в выражение
и{и*~г = (ща + u2l)r(uif3 + u26)v~r,
представляющее собой линейную комбинацию мономов (16.2).
Обозначим найденное таким образом представление С2 или U2 через S)j, где J = (это обозначение связано с применениями к спектроскопии). В частности, Эо представляет собой тождественное представление первой степени (при котором единственный базисный вектор остается инвариантным при всех преобразованиях группы); S)i явля-
2
ется представлением С2 в самом себе. Представление H)j имеет степень v + 1 = 2J + 1.
Представление S)i в пространстве полинома
c$u\ + C\U\U2 + с2и\
обладает свойством оставлять инвариантным «дискриминант»
с2 - 4с0с2.
Вместо со, ci, с2 введем новые переменные
§ 16. Линейная группа С 2, унитарная группа U2
81
тогда
х2 + у2 + z2 = (ж + гг/)(ж - гг/) + ?2 = с2 - 4с0с2.
Следовательно, преобразование S)i оставляет инвариантной форму х2 + У2 + ^2; оно является (комплексным) вращением1.
Чтобы исследовать условия вещественности, заметим, что коэффициенты со, ci, С2 произвольной квадратичной формы преобразуются так же, как и коэффициенты ai&i, а162 + «2^1, &2^2 специальной формы (aii/i + ^2^2) (^1^1 + ^2^2)- Но при унитарном преобразовании (16.1) г/2, &i, &2 преобразуются точно так же, как и —^2, ai, следовательно, с преобразуются как
Но эти три числа вещественны и преобразуются в вещественные числа; следовательно, коэффициенты преобразования тоже должны быть вещественными, т. е. векторы (x,y,z) претерпевают при вращении S)i группы U2 вещественные вращения.
Вещественную группу вращений пространства мы будем обозначать через Ь.
Легко убедиться, что каждое вещественное вращение пространства обязательно встречается в представлении H)i. Для этого достаточно определить вращения, соответствующие специальным унитарным преобразованиям
—aitt2, aiai — 0^2, o^ai.
Таким образом, x^y^z [уравнение (16.3)] преобразуются как а{й2 + a2ai; z(aia2 - a2ai); «1^2 - a2a2.
(16.4)
в представлении S)i находим
(16.5)
хОно не может быть отражением, так как непрерывным образом может быть сведено к тождеству (а = 1, (3 = 0).
82
Глава III
Мы получаем, следовательно, два вращения вокруг осей у и z на углы 2/3 и 27. Но из таких вращений можно составить любое другое вращение. Поворот с углами Эйлера $, <?>, ф является ничем иным, как произведением У$, Zф вращений вокруг осей ж, г/, z на углы <?>, ,д,ф. Развернутая формула для матрицы преобразования U2, определяющей вращение с заданными углами Эйлера, получается путем умножения матриц С(ф/2), #($/2), (7(^/2), определяющих вращения У$,
Чтобы исследовать точность представления, достаточно выяснить, согласно теореме гомоморфизма (см. §8), какие преобразования U2 при представлении H)i дают тождества. Эти преобразования должны оставлять инвариантными произведения и\, U\U2 и г^, а это имеет место только для двух преобразований
Следовательно, эти два преобразования образуют упоминаемую в теореме гомоморфизма подгруппу f). Сопряженные системы f) состоят только из двух преобразований А и —А; следовательно, они определяют то же самое вращение. Поэтому представление неточно. Но если мы ограничимся в группе с2 такой близкой к единичной матрице Е областью, которая для каждой сопряженной системы содержит только одно преобразование, то в этом изображении представление оказывается точным и поэтому однозначно обратимым: каждому вращению D с достаточно малым углом соответствует одно единственное унитарное преобразование А, близкое к тождеству. При непрерывном изменении вращения D непрерывно меняется также и соответствующая матрица А [как можно, например, видеть из развернутого уравнения (16.6)]; но после того, как вращение D пробежало замкнутый путь, соответствующая матрица А должна перейти в —А, поэтому матрица А является для всей группы Ь двузначной непрерывной функцией вращения D. На
С(^/2)В(ё/2)С(ф/2)
