Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Из первой теоремы вытекает важное соотношение
0/^ = 0^ +--- + S,,-
Так как каждое гомоморфное изображение 0 изоморфно с дополнительной группой 0/Й, мы имеем:
Теорема 4. Каждое голоморфное изображение целиком приводимой аддитивной группы изоморфно с суммой некоторых компонент 07У группы 0.
§ 12. Преобразования произведений по Кронекеру
Пусть заданы преобразование А n-мерного векторного пространства У\п и преобразование В пространства т. В качестве мы можем взять совокупность линейных форм c\U\ + • • • + спип с п переменными щ, ... , а в качестве У\т — совокупность линейных форм d\Vi~\-----Ь dmvm. Величины и\ и vp являются базисными векто-
рами.
п • т линейно-независимых произведений u\vp тоже могут быть использованы как базисные элементы векторного пространства, векторы которого имеют форму ^ c\pu\vp. Если теперь мы преобразуем и
62
Глава II
с помощью А и v с помощью В, то и произведение подвергнется линейному преобразованию
~ ^ ^ pdXfifiрсгч
которое обозначается как произведение преобразований Ах В. Оно применяется прежде всего в тех случаях, когда А и В являются представлениями одного и того же оператора а группы Q. При этом (А х B)u\vp является просто результатом применения оператора а к произведению u\vp. Если А и В образуют два представления 3D и 3D' группы 0, то Ах В, очевидно, образуют представление той же группы, называемое произведением представлений 3D х 3D'.
Таким же образом можно умножить друг на друга более чем два представления. Мы получаем при этом представление типа
3D х 3D' х 3D" = (3D х 3D') х 3D" = 3D х (3D' х 3D").
Произведение двух унитарных преобразований тоже унитарно. Доказательство этой теоремы предоставляем читателю.
Пусть 3D и 3D — два неприводимых представления группы 0. Спрашивается, при каком условии в произведении представлений содержится в качестве составной части тождественное представление или, что то же самое, при каком условии в пространстве представлений 3D х 3D существует инвариантный вектор?
Если = (ui,...,un) — пространство представления 3D и
& = (г>1, ... , vm) пространства представления 3D, то каждый вектор пространства произведения имеет вид
п т
-ЕЕ CXpUxVp = X uxv'x (у'х = X C\pVp) •
1 1
Для того чтобы w было инвариантным, по отношению к каждому элементу а группы должно иметь место равенство
п п
aw = Е(«иа) (avа) = EWaWa-1 1
Положим
п
аих — ^ ^ 'МрСХцХ'
1
§ 12. Преобразования произведений по Кронекеру
63
Это дает
У! У! ииаи* * avij, — и^11
или
п
X) «ДА ' <4 = (12Л)
1
Если мы положим ац\ = (транспонированная матрица) и обозначим через (уЗдд) матрицу обратную («л/х5 то (12.1) можно решить относительно av'x, после чего, помножив на и просуммировав по /х,
получаем
УцРцу (12.2)
Отсюда, во-первых, следует, что (v[, ... , vfn) является подпро-
странством ©, инвариантным относительно группы Q. Так как © неприводимо, то (v[, ... , v'n) совпадает с ©. Поэтому число измерений т равно максимум п: т ^ п. Меняя ролями и ©, получа-
ем также п ^ ш, откуда т = п. Следовательно, векторы v[, ... , v'n линейно-независимы: они могут быть использованы как базисные векторы для © и обозначены через vi, ... , vn. Формула (12.2) показывает, что элементу группы а в представлении И) соответствует матрица (/?Ад).
Следовательно, для того чтобы, в пространстве представлений 2) х 2) существовал инвариантный вектор ги, матрицы И), отнесенные к соответственно выбранному базису ... , vn), должны быть обратны транспонированным матрицам представления 2); при этом инвариантный вектор имеет вид
п
w =
1
Соотношение между двумя представлениями 2) и 2), заключающееся в том, что ^2 u\V\ является инвариантным, естественно, обратимо: матрицы И) также являются обратными по отношению к транспонированным матрицам представления 2). Представления 2) и 2), связанные между собой таким соотношением, называются контрагреди-ентными друг к другу. Каждому представлению 2) соответствует кон-
трагредиентное представление И). Если И) приводимо, то приводимо
64
Глава II
и 2), и обратно. В случае унитарных представлений транспонированно-обратные матрицы (Д\д) комплексно-сопряжены с (а\ц) и, следовательно, в этом случае контрагредиентное представление одновременно является и комплексно-сопряженным.
