Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
ЛГ=0, К=0, Z—0.
146. Случай, когда существует силовая функция.—
Если существует силовая функция ср(лг, у, г) для равнодействующей /? сил, приложенных к точке, то три предыдущие уравнения принимают вид:
_д'f = 0 = о _д± =
дх ’ ду ’ дг
О функции ср (х, у, г) говорят, что она имеет в точке (а, Ь, с) максимум или минимум, если значение ее в этой точке больше или меньше, чем во всякой другой достаточно близкой к ней точке. Согласно этому, три предыдущие условия представляют собой необходимые условия для максимума или минимума функции ср. Отсюда мы заключаем, что при существовании силовой функции те точ ки пространства, где функция ср достигает наибольшего или наименьшего значения, суть положения равновесия: точка, будучи помещена в одно из этих положений без начальной скорости, останется в этом положении.
147. Устойчивость равновесия. Теорема Лежен-Дирихле.— Когда точка находится в положении равновесия, то может случиться, что самый незначительный толчок или смещение из этого положения, сообщенные точке, будут достаточны, чтобы привести ее в движение, которое будет все более и более усиливаться, так что точка в конце концов отойдет на конечное расстояние от своего положения равновесия. В этом случае говорят, что равновесие неустойчиво. Наоборот, равновесие устойчиво, если точка сколь угодно мало отклоняется от своего
Глава V. Движение свободной точки
17!)
положения разновес! я при условии, что начальные отклонение и скорость достаточно малы.
Теорема Лежен-Дирихле. — Положения равновесия движущейся точки, в которых силовая функция достигает своего максимума, являются положениями устойчивого равновесия.
Пусть а, b, с — координаты точки А, в которой силовая функция имеет максимум; это значит, что функция в точке А достигает значения большего, чем во всякой другой, достаточно близкой точке.
Докажем, что А есть положение устойчивого равновесия, т. е. что точка М не выйдет из сферы S с центром А и с радиусом р, как угодно малым, при условии, что начальное положение М0 точки достаточно близко к А и начальная скорость v0 достаточно мала.
Так как функция ® определена лишь с точностью до постоянной, то мы можем выбрать эту постоянную таким образом, чтобы <р обратилась в нуль в точке А и, следовательно, был® отрицательна вблизи от этой точки, т. е. внутри и на поверхности сферы (за исключением точки А) с центром Лис радиусом р, который можно задать как угодно малым. В частности, так как ® отрицательна на поверхности сферы S, то можно выбрать положительное число е (также как угодно малое вместе с р), удовлетворяющее в любой точке х, у, z этой поверхности условию
?(х,У, 2f)< —3. (1)
После того как это сделано, дадим точке М начальное положение М0, достаточно близкое к А, чтобы удовлетворить условию
— » О'о, Уо> ^о) < -у >
и начальную скорость v0, достаточно малую, чтобы имело место неравенство
180 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
в таком случае можно утверждать, что точка М никогда не выйдет из сферы S.
Это следует из интеграла живой силы
mv2 . . , ч , mv и'-
— =<?(*. У, *) —?(*о> Уо> го)+”2^.
откуда получаем на основании предыдущих неравенств
~~ < а (х, у, z) г. (2)
Из этого неравенства сразу же получаем два другие. Прежде всего, так как левая часть положительна, имеем:
?(*, У, г)> —s,
т. е, неравенство противоположного смысла по сравнению с (1), которое имеет место на поверхности сферы. Точка М не может поэтому попасть на эту поверхность и остается, следовательно, внутри ее,
Так как <?(х, у, г) не может быть больше нуля, то из неравенства (2) получаем:
откуда видно, что величина скоро; т и будет порядка a (г. е. как угодно мала).
Г Л А В А VI
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ КРИВОЙ ИЛИ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ КРИВОЙ
148. Уравнения движения. — Пусть точка М вынуждена двигаться по кривой (С). На точку действуют непосредственно приложенная сила F и, так как точка не может сойти с кривой, реакция N, испытываемая ею со стороны кривой. Движущуюся точку можно рассматривать в этом случае как свободную, если реакцию N присоединить к силе F, представляющей собой движущую силу.
Пусть X, Y, Z—проекции силы FHa оси Охуг, которые мы будем предполагать прямоугольными; пусть далее — направляющие косинусы и N— величина реакции неподвижной кривой. Уравнения движения точки М тогда будут:
= m-^^Y+pN, //t-g = Z + vM( 1)
Одних этих уравнений недостаточно, чтобы определить движение точки, если неизвестно направление X, v реакции.
Мы будем рассматривать здесь лишь тот случай, когда кривая неподвижна и свободна от трения. Под этим понимают, по определению, что реакция кривой на точку может быть направлена лишь нормально к кривой. Предположим, что эта кривая задана параметрическими уравнениями
