Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
f г2 = /2,
Зависимость между z и t получим, исключая г и 0 из этих трех уравнений. Для этого умножим второе уравнение на га, что дает
v
dx2 + dy2 + dz2 dfi
dr2 -j- r-d№ + dz2
И продифференцируем первое уравнение
Глава VI. Движение несвободной точки
201
исключение и ^ из пРеДпоследнего
уравнения приводит к
или после приведения подобных членов:
(2gz + h) — C*. Зависимость между z и / принимает, таким образом, вид:
1-^=±V^I (6)
где положено
*(z) = (Р - г2) (2gz + h) - С2. (7)
Обозначим три корня многочлена ®(г) через — а, b и с. Мы покажем, что эти три корня действительны; первый отрицателен и меньше —•/, а два другие заключены между ± I. Для этого заметим, что так как квадратный корень из ср (г) действителен, то функция 9 (z) положительна для всех значений z, удовлетворяющих задаче, и, в частности, для начального значения z0 (заключенного между dz/). Заметим далее, что ср(г) получает значения с чередующимися знаками для последовательных значений z\z— —оо, —/, г0, -|
В самом деле,
ср(—oo) = -j-oo, ср (—I) — —С2,
?(г0)>0, ср(+/)=~С2.
Поэтому имеем:
— а< —/<6<с</.
Так как ср (z) должно оставаться положительным, то необходимо, чтобы z изменялось между b и с. Следовательно, вертикальная координата точки М колеблется между этими значениями, т. е, точка М совершает
202 Часть вторая. Основные законы. Динамика тонки
периодические колебания между верхним уровнем b и нижним уровнем с.
Если обратимся к коэффициентам многочлена о (г) в формуле (,7), то увидим, что его корни — а, b, с связаны двумя соотношениями:
из первого получаем
Эта формула показывает, что б-j-c и, следовательно, с положительны (так как а и bc-\-lz, конечно, положительны). Нижний уровень находится, таким образом, под экватором сферы, но верхний уровень может находиться и над экватором. Вторая формула показывает, что а возрастает неограниченно вместе с h (постоянной живых сил), т. е. вместе с начальной скоростью. Но тогда b-j-c (знаменатель а) стремится к нулю, и в пределе оба уровня (верхний и нижний) будут находиться по обе стороны от экватора на одинаковых расстояниях от него. В этом случае действительно можно пренебречь силой тяжести и считать, что движение точки совершается по геодезической линии, т. е. по большому кругу сферы.
Вернемся теперь к выражению <а (г). На основании сказанного имеем:
Продолжительность Т перехода от b к с получим, интегрируя значение dt из уравнения (6). Так как, изменяясь от b до с, г меняется 'в том же смысле, как t, то радикал нужно взять с знаком ; таким образом
ab-\-ac—Ьс — Р, а — b — c — 2gh\
? (*) = 2g (z -j- а) (г — b) (г — с).
(8)
С
С
Пусть Ор есть проекция радиуса ОМ на горизонтальную плоскость; за промежуток времени dt радиус Ojj.
Глава VI. Движение несвободной точки 203
поворачивается на угол db, который получим из интеграла площадей:
М — Cdt — _________9}Л_______
“ г* — ((i-z*)YW) '
Найдем угол 0, который описывает Oji вокруг вертикали за то время, когда точка М опускается от верхнего уровня b до нижнего уровня с. Он выражается интегралом
С
0 = с/ Г-----------iz. ... (10)
J (/*-*»)/?(*)
ь
То же самое значение получим для угла, описываемого за время перехода от нижнего уровня до верхнего; при этом радикал и dz одновременно изменяет свои знаки. Задача приводится, таким образом, к квадратурам (9) и (10), но квадратуры эти эллиптические. Чтобы привести решение задачи к более простому виду, найдем приближенное значение интеграла (10).
164. Приближенное значение 0. —Найдем приближенное выражение для интеграла (10). Представим сначала этот интеграл в виде:
0= I j / 1—. ,---------1_ \ —.
2 J W — z /-i-г/ у tp (г) ’
и
далее, заменим С его значениями, полученными из формулы (7),
с = у~— ч (0 = V - ? (- iy,
тогда можем написать
!)) dz / Уч(*)
с
20 = Г (У — чУ) 1 У— Ч>( —
J V 1-z т--7+Г~
204 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Однако
<р (г) = 2g(z + a)(z — b) (г —с).
Множитель (г -f- а) можно вынести за знак интеграла, заменяя его средним значением (а-{-С), где С заключено между бис; таким образом, получаем:
9йп/~з-г_ (УУ-^о I -------d-z------
l — z г l + z JY2g(z—b)(z — c)
ь
Теперь интеграл приведен к элементарной форме и вычисляется легко. Имеем
1 dz
J Y(z-b){z-c) l~z У (l — b) (I-с) '
