Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
z = ае* -f- Ье~1'^.
Конечное уравнение движения выводится отсюда. Мы напишем его в виде:
х = ае~х^ -}- be
обозначая через и два положительных числа (гак как X>?j):
АI = Л — k I , Xq - А —j~" Aj.
Для скорости х' получаем выражение
х' = — а'к^е~х^' — Ь\^е~х^ = — ak1e~1‘t(^e ^ .
*) В качестве величины, характеризующей затухание, пользуются также абсолютным значением \Т\ логарифма указанного в тексте отношения двух последовательных амплитуд. (Прим, перев.)
Глава V. Движение свободной точки
167
Отсюда видно, что скорость может обратиться в нуль только один раз. Когда t неограниченно позрастает, х стремится к нулю, во направление, в котором изменяется х, может обратиться в прямо противоположное не больше одного раза.
Следовательно, движение в этом случае не будет колебательным. Его называют апериодическим.
Третий случай. Если k = k, то г" = 0, откуда
z — at-j b,
м
х — e-xt {at -f- b),
x' = e xt (a — л i — /.at).
Таким образом, x стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности, и скорость может обратиться в нуль лишь один раз. Движение будет апериодическим, как и в предыдущем случае.
139. Колебательное движение, возмущаемое периодической силой.—Рассмотрим опять точку М, движущуюся под действием ускоряющей притягивающей силы — k2x. Движение, которое точка М получит под влиянием только этой силы, есть ее собственное движение. Предположим теперь, что к предыдущей силе прибавляется возмущающая сила, линия действия которой проходит через тот же центр; пусть эта сила выражается периодической функцией времени и пусть алгебраическое значение ее, отнесенное к единице массы, есть Pcos (at-\- [3). Мы можем привести это выражение к виду Pcos at, отсчитывая время от того момента, когда эта сила проходит через свой максимум. Уравнение движения точки М при таком предположении будет иметь вид:
х" -f- k2x — Р cos at.
Предположим, что а отлично от k. Это дифференциальное. уравнение удовлетворяется частным решением видч С cos at, где C = P:(k‘2 — а2), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой этого решения в уравнение.
168 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Общее решение получим, прибавляя это частное решение к общему решению уравнения х"-\- ?9jc = 0, что приводит к следующему уравнению движения:
Р
х — (а cos kt-\-b sin kt)-j- jt__ ^ cos at.
Это уравнение показывает, что движение точки М является результатом наложения двух различных колебательных движений, из которых одно имеет период 2тг: k собственных колебаний, а другое — период 2тг;а возмущающей силы.
Постоянные а и b определяются начальными значениями л;0 и л;0'. Без труда получаем
ха = а+ ^Р_аг . < = kb\
после этого уравнение движения получает вид:
х' Р
х = xQ cos kt ~ sin kt -f- (cos at— cos kf).
Собстяенные колебания определяются двумя первыми членами (п° 138), последний дает возмущение, производимое периодической силой. Весьма важен тот частный случай, когда частоты собственных колебаний и возмущающей силы имеют очень близкие значения, так что (k — а) по модулю очень мало по сравнению с А. В этом случае в предыдущей формуле член, представляющий собой возмущение и содержащий А9—а9 в знаменателе, периодически становится очень большим и во много раз превосходящим сумму двух других. Он может быть представлен в виде:
2 Р .а — ft . . а ft ,
sin 2 " sin ИГ-**
Так как значение |a — k\ весьма мало, то первый синус этого произведения изменяется очень мало в течение периода 4тг :(*-)- k), соответствующего второму, и потому его можно приближенно рассматривать как постоянную. Возмущение представляется тогда как колебательнре двц-
Глава V. Движение свободной точки
169
жение с периодом 4тг: (а-|-близким к собственному периоду 2тг: и амплитуда которого
изменяется с течением времени периодически, но весьма медленно. Период колебаний амплитуды имеет ббльшую продолжительность |2тг:(?— aj| и определяет биения. В каждом биении амплитуда возмущенного колебания обращается один раз в нуль, когда (а — k)t принимает значение, кратное 2тг, и проходит через один максимум, имеющий весьма большое значение, когда (а — k)t равно нечетному кратному it. Следовательно, периодическая сила увеличивает возмущение в течение первой половины биения, чтобы погасить его во второй половине.
Предельный случай, когда частоты равны между собой. Синхронизм. Если а = k, то уравнение движения получается из предыдущего уравнения в результате перехода к пределу. Применяем правило Лопиталя и находим, приближая а к k,
Это есть уравнение колебательного движения с тем же периодом 2тг:?, как и у собственных колебаний, но амплитуда которого
стремится к бесконечности с течением времени. В этом случае под влиянием периодической силы амплитуда колебания монотонно и неограниченно возрастает. Это явление называется резонансом.
