Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Это замечание находит применение в случае, когда рассматривается движение несвободной точки, вынужденной
160 Часто вторая. Основные законы. Динамика точки
оставаться на заданной линии или поверхности, которые предполагаются неподвижными и лишенными трения. Последнее свойство обозначает, что линия или поверхность могут действовать на движущуюся точку лишь с силой, направленной по нормали к поверхности: эта сила называется нормальной реакцией. Нормальная реакция не производит работы при движении точки по линии или по поверхности, и в приложениях теоремы живой силы ее поэтому не приходится учитывать. Это можно видеть на следующем примере.
135. Случай, когда работу производит только сила тяжести. Теорема Торичелли. — Известно, что работа силы тяжести, действующей на движущуюся точку, равна весу точки, умноженному на высоту падения Н. Интеграл живой силы может быть применен здесь независимо от того, свободна ли точка или вынуждена перемещаться без трения по неподвижной кривой или поверхности.
Этот интеграл имеет в данном случае вид:
mv- rnvJ- ,,
—2--------= mSH'>
отсюда
и2 = i>02 -|- 2 gH.
Если начальная скорость равна нулю, то будет v =¦ Y2gH.
Это уравнение выражает теорему Торичелли'. Скорость> полученная свободной или несвободной материальной точкой, отпущенной без начальной скорости и находящейся под действием силы тяжести, в предположении, что движение происходит без трения, равна Y%gH, где Н есть высота падения.
Глава V. Движение свободной точки
161
§ 8. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ РАССТОЯНИЮ
Когда на точку действует центральная сила, то из теоремы площадей (п° 121) следует, что даижзние ее происходит в некоторой плоскости. Возьмем эту плоскость за плоскость ху, центр силы—за начало координат, тогда число уравнений движения сведется к двум.
136. Случай притяжения. — Пусть г—радиус-вектор движущейся точки и х, у— ее координаты, которые могут быть прямоугольными или косоугольными. Величина ускоряющей силы (предполагаемая пропорциональной г) будет k?r, где k?—-постоянная. Проекции силы на оси получим, замечая, что ее направляющие косинусы равны по величине и противоположны по знаку направляющим косинусам (Х'.г, у:г) радиуса-вектора. Поэтому будет
*=Авг(-^)= - А9*,
У = **/•( — f-) = —h*y.
Следовательно, обозначая точками производимые по времени, получим дифференциальные уравнения движения в виде:
X k°x =0, у 4- ?ау = 0.
Обе переменные х и у удовлетворяют одному и тому же линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами без правой части. Не входя здесь в подробности общей теории этого уравнения, заметим, что значения x = coskt, x = sin kt удовлетворяют, как это видно с первого езглядэ, уравнению x=—k2x\ поэтому решение, зависящее от двух произв^ьных постоянных а и Ь, получим, полагая
х = a cos kt -j- b sin kt.
Это решение есть общий интеграл уравнения, так как оно позволяет, распоряжаясь соответствующим образом
1! Зшн. 058.
162 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
неопределенными величинами а тл Ь, выбрать произвольно начальные значения * и®,, (или х).
Значение у получается таким же способом. Обозначая через «j и Ьх две новые постоянные, будем иметь:
у — ах cos kt -j- bx sin kt.
Четыре постоянные определяются при помощи начальных условий. Чтобы упростить вычисления, проведем ось х через начальное положение точки (тогда дг0 = г0, у0 = 0), ось у — параллельно ее начальной скорости, предполагая, что эта скорость направлена под углом к радиусу-вектору (тогда г>,„0—0, vy0=v0). Мы получим условия:
А'о = а = г0, х0' = vj> =:kb = 0,
;'o = «i==0. V = vu° = kbl = v0.
Конечные уравнения движения приводятся к виду:
х =-- r0 cos kt, у = -у sin kt.
Это есть не что иное, как параметрические уравнения эллипса, отнесенного к двум сопряженным диаметрам, центр которого совпадает с центром притяжения. Движение точки периодическое. Продолжительность обращения точки по этому эллипсу, или период есть Т— 2и: k. Следует заметить, что период обращения совершенно не зависит от начальных данных, а следовательно, и от размеров эллипса, описываемого вокруг центра притяжения; он зависит лишь от постоянной притяжения k.
Если начальная скорость равна нулю или направлена по оси х, то движение будет прямолинейным и приведется к колебаниям вдоль оси х.
Мы возвратимся к этому случаю далее (п° 138).
Рассматриваемая задача имеет особый интерес, так как она дает закон малых колебаний, происходящих под действием упругих сил. В этом случае предполагают, что сила, которая действует на точку, выведенную из своего положения равновесия, пропорциональна смещению и стре-
Глава V. Движение свободной точки
163
мится возвратить точку в положение равновесия. Это закон, обычно применяемый при изучении колебательных движений.
