Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
dz dу . dx dz '
У1и ~2Ч1 = А' 2 ~df ~X~dt ^ ’
dy dx r W
хчт-у — = с>
где А, В и С — постоянные. Умножим эти три уравнения соответственно на х, у, z и сложим. Получим
Ах —j- By “-j~ Cz — 0.
Это уравнение есть уравнение неподвижной плоскости, проходящей через начало координат. Движущаяся точка (X, у, z) Есе время остается в этой плоскости, ее траектория представляет собой поэтому плоскую кривую.
Возьмем плоскость траектории за плоскость ху. Точка М совпадает тогда со своей проекцией [л на эту плоскость, а радиус-вектор ОМ совпадает со своей проекцией 0(х: поэтому можно применить к самому радиусу-вектору теорему площадей, установленную в предшествующем п°. Отсюда имеем следующую теорему, которая и есть собственно теорема площадей:
Глава V. Движение свободной точки 145
Теорема. — Если материальная точка движется под действием центральной силы, т. е. силы, линия действия которой проходит через неподвижный центр, то траектория точки есть плоская кривая, и центр силы лежит в ее плоскости; радиус-вектор, проведенный из центра к движущейся точке, описывает в этой плоскости площади, пропорциональные времени.
Обратно, если радиус-вектор, проведенный из точки О к движущейся точке М, описывает в неподвижной плоскости, проходящей через точки О и М, площадь, изменяющуюся пропорционально времени, то точка находится под действием центральной силы. В самом деле, тем же свойством обладают и площади, описываемые проекциями радиуса-вектора ОМ на три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через точку О. Если эти плоскости принять за плоскости координат, то можно написать уравнения (2), выражающие тот факт, что производные
указанных площадей постоянны. Дифференцируя уравнения (2), получаем уравнение (1) и два другие аналогичные, которые можно написать также в виде:
yZ — zY=> 0, гХ—,vZ = 0, xY—yX=0; отсюда
_?__у_____г_
X Y Z '
Эти равенства показывают, что направление силы совпадает с направлением радиуса-вектора.
§ 5. РАБОТА СИЛЫ
122. Элементарная работа силы. — Пусть Гесть сила,
приложенная к движущейся точке М, и ММ! — бесконечно малое перемещение точки. Элементарной работой силы F
на перемещении ММ' называют скалярное произведение (п° 10) этих двух векторов. Другими словами, элемен-
10 Зак. 958.
N6 Часть erofian. Основные законы. Динамика точки
тарная работа есть произведение величины силы на величину перемещения ее точки приложения и на косинус угла между силой и перемещением. Она может быть написана в следующих двух видах:
(FMM') = FMM' cos (F,MMr).
Обычно сила F и ее точка приложения М бывают отнесены к прямоугольным осям координат Охуг. Проекции X,Y,Z вектора F и координаты x,y,z точки М являются функциями параметра t, который чаще всего представляет собой время, но это вовсе не обязательно. Кривая, описываемая точкой М, определяется тогда уравнениями в параметрической форме:
х ='¦?((), у — ©ДО» ¦г = ?а(*)>
где t есть независимая переменная.
Если переменной t дадим приращение dt, то проекции Ддг, &у, Дг соответствующего перемещения точки М будут отличны от дифференциалов dx, dy, dz, представляющих собой проекции вектора ds; но отношения приращений координат к соответствующим дифференциалам имеют пределом единицу, когда dt стремится к нулю, и потому при вычислении сумм бесконечно малых слагаемых Э1и приращения можно заменять соответствующими дифференциалами. Мы можем поэтому перемещение ММ’ заменить вектором ds.
Элементарная работа силы F на перемещении ds, которое можно рассматривать как определяемое изменением параметра dt, есть, таким образом, скалярное произведение векторов F и ds и может быть написано в одной из двух форм:
(Fds) или Fds cos (F, ds).
Элементарная работа будет поэтому положительна, отрицательна или равна нулю, смотря по тому, составляет ли сила с перемещением угол острый, тупой или прямой. Говорят, что мы имеем работу движущей силы, если
Глава V. Движение свободной, точки
147
работа положительна, и работу сопротивлении, если она отрицательна.
Рассмотрим два разложения
ds [F cos (F, ds)] и F [rfs cos (F, rfs)]
элементарной работы на произведение двух множителей; мы видим, что элементарная работа равна произведению величины перемещения на алгебраическое значение проекции силы на направление перемещения. Она равна также произведению величины силы на алгебраическое значение проекции перемещения на направление силы.
Применим теорему о проекциях; из предшествующих определений следует, что: 1°. Элементарная работа равнодействующей F равна сумме элементарных работ ее составляющих; 2Ъ. Если перемещение ds есть результирующее нескольких других перемещений, то элементарная работа силы F равна сумме элементарных работ, выполненных ею на каждом из составляющих перемещений.
