Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Легко проверить, что этот принцип осуществляется, например, в следующих формулах.
Формула Торичелли, которая дает скорость v тяжелой точки, падающей с высоты h, имеет вид:
v = Y•
Если умножить скорость v на LT-1, ускорение g—на Ы ~‘г и длину h — на L, то условие однородности будет выполнено.
Продолжительность т бесконечно малого колебания простого маятника выражается формулой
Если умножить время т на Г, длину / — на L, ускорение g—на LT-2, то условие однородности и в этой формуле Оказывается выполненным,
ГЛА В А V
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
§ 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
115. Дифференциальные уравнения движения.—
Пусть М — точка массы т, j—ее ускорение, F—действующая на нее сила. Эти величины связаны между Собой основным уравнением динамики
mj=F.
Отнесем движущуюся точку М к системе осей Oxyz, прямоугольной или косоугольной. Пусть X, Y, Z —
проекции силы F на оси; проекции ускорения j равны
d*x <Py d2z „ соответственно • Предшествующее
геометрическое равенство распадается на три алгебраических уравнения
сРх v d-y .. d"-z „
т dp- X, in d(l Y, m d(.; Z,
которые называются дифференциальными уравнениями движения.
Вектор F представляет собой движущую силу. Если мы имеем лишь одну движущуюся точку, то часто оказывается удобным вместо движущей силы ввести ускоряющую силу. Эта последняя определяется как частное F: т от деления силы на массу точки; она представляет, таким образом, силу, отнесенную к единице массы, и совпадает по величине, направлению и ориентации с ускорением точки. Пусть Хи Yu Zx—проекции ускоряющей силы на оси; тогда дифференциальные уравнения движения принимают следующую более простую форму:
JUL—y JlL—v d'z — 7 dP dt"- >¦’ dfi —
136 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Частные случаи. — Если движение точки происходит в плоскости, то эту плоскость можно принять за плоскость ху; в этом случае, так как г постоянно равно нулю, уравнения движения приводятся к двум:
<^х _ v „ &У _ v dP ’ dt2
Если движение прямолинейное, то можно принять траекторию за ось х; тогда у и г равны нулю, и остается лишь одно уравнение движения
т~ж=х-
Если сравним уравнения движения в этих двух частных случаях с уравнениями, относящимися к общему случаю, то придем к заключению, что проекция'точки на плоскость или на прямую движется, как точка с той же массой под действием силы, равной проекции на эту плоскость или прямую действующей на точку силы.
Дифференциальные уравнения движения применяются при решении двух взаимно обратных задач, которые указываются ниже. Прямая задача относится к дифференциальному исчислению; обратная задача принадлежит к области интегрального исчисления.
1°. Прямая задача. — Зная конечные уравнения движения, или, иными словами, положение движущейся точки в функции ог времени, определить силу для каждого момента.
Эта задача решается непосредственно. По предположению, даны конечные уравнения движения:
* = <?(*)> y = ?i(Q, *=:<Р2(/); из этих уравнений находят вторые производные
d~x __ " ff . d'Zy __ „ . d-z ____ // /,,
dfi "P w> rfft Vi (*)i др — ?2 w>
после чего дифференциальные уравнения движения дают;
X = m f (<), Y -- /л®/' (f), Z = rntp/ Щ’
Глава V. Движение свободной точки
137
2°. Обратная задача является той задачей, которую обычно решают в механике и которая оказывается значительно более трудной. Она заключается в следующем: дана сила посредством ее статического определения (п0 104), требуется найти движение точки.
В самом общем случае, который можно допустить в механике, сила зависит от положения движущейся точки, от ее скорости и от времени; поэтому X, Y и Z суть функ-
dx dy dz ,
ции от семи переменных х, у, г, И
Вно;я эти значения X, У, Z в дифференциальные уравнения движения, получаем следующую систему дифференциальных уравнений второго порядка:
d2x / dx dv dz ,
dti dt > dt » dt
d^y .. / dx ' dy dz \
"l~W ~ y' z’ ~dT ' dt ' ~dt ’ ) ’
d*z „ / dx d\> dz , \
m~dp~~Z\X'y' Z’~dT' dT ’ dT ’ )’
Решение задачи получается в результате интегрирования этой системы. При интегрировании появятся произвольные постоянные, число которых легко определить заранее. В начальный момент, когда точка предоставлена действию движущей силы, ее положение и скорость могут быть произвольными. Эго дает три произвольные координаты и три произвольные проекции скорости. Таким образам, шесть произвольных постоянных, которые войдут в решение при интегрировании, должны определяться начальными условиями. Если движение плоское или прямолинейное, то число уравнений и, соответственно, число постоянных уменьшится, но постоянные попрежнему будут определяться на основании тех же соображений, как и в общем случае.
