Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Fx = — ^ р cos (п, х) dS,
S
F“=~ Ир cos dS’ *'7'7^
S
F? = — ^ ^ Р cos (п, z) dS\
s
Lx = — J $ P \У cos (^z) — zcos 0О)1 dS,
s
Ly = — ^ p [z cos (я, x) — x cos (я, z)] dS, (7.8)
s
Lz = — ^ ^ P Iх cos (n> У) — У cos (n> *)1 dS.
s
105
§ 8. ЗАКОН АРХИМЕДА
Будем рассматривать однородную несжимаемую жидкость в поле силы тяжести. Массовые силы Fx = Fy = О, Fz — —g. Задача о равновесии такой жидкости решена в § 4, где была получена формула для давления
P = Po + Pg(zQ — z). (8.1)
Введем вместо z координату z', положив
z' — z — z0 —— ,
0 pg
т. е. будем отсчитывать z' от так называемого приведенного уровня (р — 0 при 2 = 20+ ^г) • Тогда формула для давления примет вид
р = — pgz'. (8.2)
Пусть в жидкость погружено тело. Поверхность этого тела
5, объем т. Вычислим главный вектор Fs и главный момент L
сил, действующих со стороны жидкости на тело. Подставляя (8.2) в формулы (7.7) и учитывая при этом, что поверхность S замкнутая, находим проекции главного вектора
Fx = Pg ^ S z' cos x) dS = °>
— (8'3)
Fz=Pg j z7 cos (n, z) dS = pg ^ ^dx = pgr.
S т
Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действует сила, направленная снизу вверх и равная весу жидкости в объеме этого тела.
Вычислим проекции главного момента. Используя формулы
(7.8), получаем
Lx = pg ^ ^ z' \У cos (п> z) — z cos (n, у)] dS =
s
=pg S S S ai7' dx=p? S S \ уd%'
X X
Ly = — pg$$$ xdx, Lz = 0.
T
Введем координаты центра тяжести объема
т X
Тогда выражения для Lx, L]h Lz можно записать в виде
Lx = pgxyc, Ly= — pgxxc, L, — 0. (8.4)
Формулы (8.4) решают задачу о нахождении момента.
106
Известно, что система сил приводится к одной равнодействующей, если скалярное произведение главного вектора на главный момент равно нулю. В нашем случае это имеет место:
(F • L) = FXLX + FyLy + FZLZ = 0.
Выберем начало координат так, чтобы хс = ус = 0, т. е. чтобы ось z' проходила через центр тяжести объема. Тогда все составляющие момента будут равны нулю.
Таким образом, система сил, действующих на тело, погруженное в однородную несжимаемую жидкость, находящуюся в поле сил тяжести, статически эквивалентна одной силе, равной по величине весу жидкости в объеме тела и направленной вертикально вверх, причем линия действия этой силы проходит через центр тяжести объема тела.
Часть III. ГИДРОМЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Будем предполагать, что жидкость идеальна, нетеплопроводна и объемные источники тепла отсутствуют. Это означает, что
Тл — пр, tx — ty — tz '—" 0, 6 — 0.
Система уравнений гидромеханики идеальной нетеплопроводной жидкости была получена в главе VII (формулы (1.5)). В этих уравнениях теперь следует положить е = 0.
ГЛАВА X
ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
При определенных условиях некоторые из уравнений системы могут быть проинтегрированы. Эти условия имеют достаточно общий характер и оказываются выполненными во многих разных по характеру задачах. Полученные соотношения — интегралы системы уравнений — часто бывает более удобно использовать при исследовании задач, чем исходные уравнения.
§ 1. АДИАБАТА
Движение жидкости называется адиабатическим, если жидкость не приобретает тепла извне и не отдает его. Предположения, принятые в этом разделе (t = 0, е = 0), означают, что мы рассматриваем адиабатические движения.
108
Выпишем уравнение неразрывности и уравнение энергии
-^- + pdivv = 0; (1.1)
+ pdivv = 0. (1.2)
Найдя div v из (1.1) и подставив ее в (1.2), получим
PTT-fl-O- с Л)
Внутренняя энергия с учетом уравнения состояния может
быть представлена как функция р и р. Принимая это во внима-
ние, можем переписать (1.3) в виде
/дЕ_ dp_.dE_ _dp\ р rip -
Р \др dt "г" др dt ) р dt
или
Отсюда
дЕ dp
