Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
разрывности
-^ + pdivv = 0. (9.4)
Наша задача — получить уравнение для потенциала скоро-
стей ф.
Из (9.1) следует, что
,. д2<р , а2ф , 52ф ,п
dlvv=^ + l#+ а?' (9-5>
Из (9.2), вводя скорость звука — получаем
dp ___ dp dp__ 1 dp
dt dp dt a2 dt
(9.6)
Уравнение неразрывности (9.4) согласно (9.5) и (9.6) можно переписать в виде
+ (9-7)
1 it =_-tf **+.?). (9.8)
Из интеграла Лагранжа (9.3) следует
_________
р dt dt \ dt
Подставим (9.8) в (9.7). С учетом равенства -57 — + v • grad f
будем иметь
Л<р - Ж [ж (ж + Т-) + v • grad (ж + Т-)] = °* (9-9)
Здесь
Из (9.3) следует, что р есть функция суммы (4‘г + 4"у2) ’ ^ле-
довательно, а2 есть функция производных от ф. Таким образом, уравнение (9.9) есть уравнение для потенциала скоростей ф.
122
Введем в (9.9) выражение (9.10) для и2. Окончательно будем иметь
Частные производные второго порядка в уравнение (9.11) входят линейно, коэффициенты при них зависят от производных первого порядка. Уравнения, линейные относительно старших производных, называются квазилинейными. Уравнение (9.1П служит для нахождения ср. После того как ф найдено, из (9.3) найдем р, а затем р = Ф(р).
Предположим, что движение установившееся. В этом случае Д?- = 0 и уравнение (9.11) для потенциала ф принимает вид
Обозначим определитель, составленный из коэффициентов ац, через D = det || ац ||. В зависимости от знака D различают три типа уравнений (9.13): эллиптические уравнения, если D > 0; гиперболические уравнения, если D <С 0; параболические, если D = 0. Непосредственно можно убедиться, что в нашем случае определитель D оказывается равным
Таким образом, уравнения являются эллиптическими, если М < 1, т. е. v < а, — скорость потока меньше скорости звука; уравнения гиперболические, если М > 1, т. е. v > а, — скорость потока больше скорости звука.
Частный случай. Рассмотрим задачу о распространении малых возмущений в сжимаемой жидкости. Пусть эти возмущения
з
3
дх. дх. дх,дх
<?ф <?ф <?2ф
i = 1
дф <?2Ф __ 0
dxt dxtdt
(9.11)
3
(9.12)
Введем обозначение
и перепишем уравнение (9.12) в виде
з
(9.13)
3
(9.14)
123
возникают в находящемся в равновесии покоящемся газе. Обозначим через ро, ро, До, где а\ = — I , параметры газа при
Ф-Ро
v = 0. Гидродинамические величины можно в этом случае записать в виде
V = v', р = р0 + р', р = р0 + р\ (9.15)
где v', р', р'— малые возмущения скорости, давления и плотности. Так как рассматривается потенциальное движение, то v = grad<p, где <р — потенциал возмущенного движения (v = v' = grad ф). Отбрасывая в уравнении (9.11) члены, содержащие малые величины в степени выше первой, получаем
<э2ф , ____i_ _ п /q j
’’ а/2 (У.Ю)
дх ду дг <25 dt
Уравнение (9.16) —классическое волновое уравнение. Величина ао — скорость распространения звука в покоящемся газе. Найдя ф из решения (9.16), определим скорость v = gradф. Определим давление, используя интеграл Лагранжа:
р' = р — Ро= — Po4f- (9-17)
Так как жидкость баротропна, то р = Ф(р), и можно найти р': р' = Р — Ро = Г-^) (р — Ро) = -тР'- (9.18)
V dp ао
Давление и плотность также удовлетворяют волновому уравнению. В этом нетрудно убедиться, дифференцируя (9.16) по t и используя формулы (9.17) и (9.18). Заметим, что волновое уравнение для р и р можно получить непосредственно из системы уравнений идеальной сжимаемой жидкости. Подставив в систему соотношения (9.15) и исключив из уравнений, например, v' и р', получим волновое уравнение для р'.
Волновое уравнение (9.16) описывает распространение возмущений со скоростью а0. Проще всего в этом убедиться, рассматривая частные решения уравнения, зависящие только от х и /. В этом случае (9.16) принимает вид
= (9.19)
дх2 a2 dt2 Общее решение уравнения (9.19)
Ф = /1 (дс — aot) + /2 (х + ctol) (9.20)
(fi> f2 — произвольные функции) описывает распространение
