Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1. Если рассматривать не очень большие расстояния от Земли, то можно как это обычно делают, приближенно принять поверхность Земли за плоскость и массовые силы направленными
0Q 2
вертикально, т. е. положить Fx = Fy — 0, Fг = —(а + г)2 > Где
а — радиус Земли, g— ускорение силы тяжести на ее поверхности z = 0. В этом случае потенциал массовых сил V =
= — а^+1 * откУда а + z = — • ФУНКЦИЯ определяемая
Отсюда R'{V) = yr и R (У) = — + Сь Выражение R(V)
и вычисляя интегралы, легко получим зависимость Т, р и р от г. В частности, температура будет опять линейно зависеть от г\
Т = Тй--z, p = pQ(l-
Tq г l /
)
(6.32)
формулой (6.14), будет q (У) = -4- {а + г) = —и уравнение
“ 8 _____ ~
R" (У) 2
(6.15) для R(V) запишется в виде = ~ у •
Q
через z будет иметь вид R = —5— [а + z) + Сь т. е. R(z)—гар-
С
ионическая функция. Подставляя R'(1/)=-рг в (6.27) и (6.29)
Т = Т(! - -Г°21 Т'-г = Тй(\ - T°fJx (6.33)
103
2. Задачу о равновесии атмосферы вокруг Земли, когда массовые силы есть силы тяготения, можно рассмотреть и в более точной постановке, считая, что Земля — однородный шар и силы направлены к центру Земли. В этом случае, вводя сферические координаты г, 0, ф, будем иметь
Потенциал массовых сил V = — удовлетворяет уравнению
Лапласа Д1/= О и согласно (6.14) функция q(V)—0, откуда /?'(!/) = const. В формулах (6.27) и (6.29), дающих решение задачи, следует, вообще говоря, при больших изменениях высот учитывать зависимость т и k от V, т. е. от высоты. Если же, как и раньше, принять тик постоянными, то решение может быть сразу выписано. Для температуры оно имеет вид
где Т0 — температура при г = а; Т\ — температура при г = г\. Если в выражении для Т обозначить г — а через z, то получим
Из уравнений равновесия жидкости в консервативном силовом поле, как известно, следует, что между давлением р и плотностью р существует функциональная зависимость.
Жидкость, для которой р есть функция только р, обычно называют баротропной. При этом имеется в виду, что зависимость р от р заранее задана. Это позволяет при решении задач о движении баротропной жидкости ограничиться рассмотрением уравнения неразрывности и трех уравнений движения для нахождения четырех функций — vx, оу, vz, р, а при исследовании равновесия жидкости — рассмотрением трех уравнений (так как уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно).
Жидкость, уравнение состояния которой имеет общий вид f(p,p,T) =0 и относительно которой не делается никаких специальных предположений (об изотермичности или адиабатичности процессов и др.), называют бароклинной. При решении задач о движении бароклинной жидкости приходится привлекать уравнение энергии. Задача о равновесии жидкости, уравнение состояния которой имеет общий вид f(p,p,T) = 0 и относительно которой не делается никаких специальных предположений, также не может быть точно решена без использования уравнения энергии. Зависимость р от р в этом случае заранее неизвестна и для каждой задачи может быть найдена только после ее решения.
Решение задачи о равновесии жидкости в консервативном силовом поле, изложенное в § 6, получено С. В. Валландером и изложено в статье «Равновесие бароклинной теплопроводной жидкости в консервативном силовом поле» (Доклады АН СССР,1974, т. 216, № 2).
(6.34)
Примечание редактора
104
§ 7. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИЛ ДАВЛЕНИИ
Пусть имеется некоторое тело и пусть S — часть поверхности тела, соприкасающаяся с жидкостью. Как обычно, п — нормаль к элементу поверхности dS, направленная в ту сторону, где находится жидкость. На площадку dS со стороны жидкости действует сила
dFs = T„dS. (7.1)
Момент этой силы относительно начала координат
dL = rXdFs = (rXTn)dS. (7.2)
Проинтегрировав (7.1) и (7.2) по поверхности S, получим общие формулы для главного вектора и главного момента сил, действующих на поверхность S со стороны жидкости:
FS=J$T„dS; (7.3)
s
L= JJ(rXtn)d5. (7.4)
s
Если в жидкости действуют только нормальные напряжения, то
тп = —пр и формулы (7.3) и (7.4) принимают вид
Fs=-\\pndS-, (7.5)
5
L = - J$(rXn)/>dS. (7.6)
s
В проекциях на оси координат получим
