Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
$ I. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ НЕЕ
Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. Таким образом, на движущуюся жидкость распространяется свойство, которое наблюдается в жидкости при равновесии или ее движении как абсолютно твердого тела. В реаль* ных жидкостях касательные напряжения не равны нулю, но
70
часто встречаются случаи, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. В таких условиях жидкости удобно представить как идеальные. Итак, считаем жидкость идеальной. Во всех случаях справедлива формула Коши
Т„ = Хх COS (п, х) + Ху COS (tl, у) + COS (П, z).
По определению идеальной жидкости
= р„п, хх = рх1, — Ру], тг ==s р2к. Подставив (1.2) в (1.1), получим
РпП =¦ РхI COS ОС*) + Ру) cos (iCy) + Pzk COS (rtTz) Поскольку
n = cos (n, x) 1 + cos (n, y) ] + cos (n, z) k, из (1.3) следует, что
Pn = Px~ Py^ Pz~ P'
Формулы (1.2) перепишутся в виде
хп = — рп, ?х = — р\, ху = — р\, хг =
рк.
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4) (1.6) (1.6)
--- р 0 0 1 0 0
Т = II II = 0 --- р 0 --- --- р 0 1 0
0 0 --- р 0 0 1
Из (1.6) следует, что в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентировки площадки. Величину р называют давлением. Из (1.6) следует, что составляющие тензора напряжений хи = —р, т,* = 0 (1Фк). Тензор напряжений идеальной жидкости будет иметь вид
pi- (1-7)
В тензор (1.7) входит только величина р — скаляр.
§ 2. ВЯЗКАЯ (НЬЮТОНОВСКАЯ) жидкость И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЕ
Вязкой называют жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения. Рассмотрим эксперимент, который проводил еще Ньютон. Имеются две плоскости, между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью v (рис. 10). Опыт показывает, что сила f, которую надо приложить к верхней пластине,
71
f = jj, 5, где 5 — площадь пластины. Сила, приходящаяся на единицу площади, в нашем случае касательное напряжение
Ту* = Ц X • (2Л)
Здесь ц — коэффициент, который зависит от свойств жидкости.
Этот же опыт дает распределение скоростей жидкости: на неподвижной пластине скорость жидкости равна нулю, на верхней — равна скорости пластины. Распределение скоростей поперек линейно зависит от расстояния
vx = v-^- (2.2)
В силу (2.2) = х* и выражение для хух можно запи-
сать в виде
= (2-3)
Для многих жидкостей равенство (2.1) выполняется с большой степенью точности. Коэффициент ц называется коэффициентом вязкости. Причиной вязкости (касательных напряжений) является хаотическое движение молекул, переход которых из слоя в слой создает торможение этих движущихся слоев относительно друг друга.
Так как в рассматриваемом движении vx = vx(y) и, следо-1 г dvx dvy\
вательно, еху = у ^ =
Рис- 10- — — ,d— то, как следует из
2 dy •
(2.3), в этом случае справедливо соотношение
хух = 2 \1Еух. (2.4)
В соответствии с рассмотренным опытом можно вывести связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций в общем случае.
Жидкость называется вязкой ньютоновской, если выполнены следующие условия:
1) в жидкости, когда она движется как абсолютно твердое
тело или находится в покое, наблюдаются только нормальные
напряжения;
2) компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформаций;
3) жидкость изотропна, т. е. ее свойства одинаковы по всем направлениям.
Условие 1) означает, что т<к = 0 при i ф k, если все emn = 0.
У) V
71 Чччччччччччччч*
72
Условие 2) означает, что т<* могут быть представлены через Етп в виде (учитывая симметрию тензора напряжений)
Ххх — flio + а,\\^хх + O-xtfyy + ^13егг + О-Н^ху + 0,\5гуг + 0-\Фгх,
Туу = й2$ + ^2\^хх "Ь ^22&уу “Ь ^23®гг “Ь ^24®д:у “Ь ^25^уг “Ь ^26®гх> тгг = а30 + а31гхх + а32еуу + a33ezz + а34вху + a35eyz + Q-36ezx,
Хху ~ Хух == Що + а41гхх + а42гуу + aA'3ezz +
“Ь ^44®д:у “Ь ^45&yz “Ь ^46®гх> (2-5)
xyz — xzy — а50 + а51ехх + а52Вуу + a53Bzz +
+ аЫЕху + a5beyz + a56ezx,
Xzx — Xxz = а60 + а61ехх + а62еуу + a63ezz +
+ амгхУ + абь?уг + a66ezx.
Условие 3) означает, что коэффициенты aik в (2.5) не зависят от выбора системы координат.
