Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
В этой главе рассматриваем идеальную жидкость. Для нее тензор напряжений имеет вид || xik II = —pi- В дальнейшем будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. Закон моментов при М = 0, П = 0, я,-* = 0 (учитывая вид ||т?а||) будет удовлетворяться тождественно, поэтому выписывать его не будем.
§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ
1. Уравнение неразрывности сохраняет свой вид (I).
2. Уравнения движения сплошной среды—(II). Так как жидкость идеальна, то
т*= —i р, ху = — ]р, тг = —к р. (1.1)
При условии (1.1) уравнение (II) примет вид
dv „ . др . др , др
Р^Г = Рр-‘ ТГ-)
или
ЧГ = F _ у ёГас3 Р- П'2)
В проекциях на осп координат
dvx __ р______1 др
dt х р дх '
dvu 1 др
(! )
dvz___р_______1 др
dt 2 р dz
Уравнения (1.2) —уравнения движения идеальной жидкости носят название уравнений Эйлера.
81
3. Уравнение энергии— (IV). Так как жидкость нетеплопроводна, то
tx=*ty = tz=* 0. (1.3)
В силу (1.1) и (1.3) уравнение энергии запишется в виде
p4f = e-pdivv. (1.4)
К полученным уравнениям надо присоединить уравнение состояния f(p,p,T)= 0 и выражение для внутренней энергии Е через какие-либо две величины из трех (р, р, Т).
Таким образом, система уравнений гидромеханики для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид
+ р div v = 0,
^T^-jgra&p,
dE О-6)
р -ft- + р div v = в,
f(p, р, Т) = 0.
Система (1.5) —система шести уравнений для отыскания шести
искомых функций: vx, vy, vz, р, р, Т. Пять уравнений — нелиней-
ные уравнения в частных производных первого порядка, одно уравнение — конечное соотношение. Вид зависимости Е = = Е(р,Т) обычно известен. Массовые силы F считаются заданными функциями координат и времени. Объемное поглощение энергии е обычно задается как функция р и Т, хотя иногда может зависеть и явным образом от координат и времени. Выпишем систему уравнений (1.5) более подробно:
др др др др (дох dvy dvx \
W + Vxd7 + v«-dV + v*-dZ + P{'dT + -d?' + -dr)=x0>
— р L dp
~~г* р дх •
dvx + vx dvx + Vy dvx о 1,й ь i
dt 1 ft dx + vy dy го ['О <0 |
dvy dvu dvy N
О ?
-L J
dt T Vx dx dy 1 dz
dvx dv7 dvz 1 dv*
dt + vx dx + i>y dy ^ dz
1 др
==F»~T~dy’
(1.50
dvи dv.
Z
(дЕ дЕ дЕ дЕ \ (dvx
P\-3r + v*-dT + v«-dF + V*~dr) + P\~dr+ ду ' dzJ~°’
f(p, P, л = 0.
Здесь E — E(p,T).
Этой системе уравнений удовлетворяют все течения идеальной нетеплопроводной жидкости, как установившиеся, так и не-установившйеся, а также относящиеся к обтеканию жидкостью
82
различных тел при разнообразных условиях. Множество решений весьма широко. Надо научиться ставить условия, которые позволяли бы выбрать нужное решение, соответствующее условиям задачи.
§ 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОБ ОТЫСКАНИИ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ
Согласно определению движение называется установившимся, если для любой гидродинамической величины А : =
дА
= -^ = 0. Система уравнения (1.5) в этом случае может быть записана в виде
v^ + v«lV + v^ + 9dWv==0’
7 + ^Jf + v^ = F-TgTadp'
( дЕ , дЕ . дЕ \ . ,.
р I0* 1Г + VW + ) + р dlvv “ 8’
f (р, Р, т) = о,
где
Е = Е(р, Т). (2.2)
Искомые функции р, vx, vy, vz, р, Т являются функциями х, у, г.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции.
1. Граничные условия на поверхности тела. Пусть установившийся поток жидкости движется относительно тела и пусть система координат неизменно связана с телом. Обозначим, как обычно, через S поверхность тела, через п — нормаль к поверхности (функция точек поверхности). Возможны два случая.
а) Тело непроницаемо, т. е. жидкость не проникает через поверхность S тела. Тогда нормальная составляющая скорости на границе должна быть равна нулю:
Vn Is ™ 0. (2.3)