Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Исходим из интегральной записи закона (2.6)
SSS[l(pv)+pvdivv~pF]dT=SSXndS¦
х S
Используя для Тл формулу Коши, преобразуем интеграл по S в правой части (5.1) к интегралу по объему т, применяя фор*
64
мулу Гаусса — Остроградского:
^ т„ dS — ^ [т* cos (п, х) + ху cos (п, у) + хг cos (п, 2)] dS =
-JSS(?+#+?K <м>
t
Подставляя (5.2) в (5.1), получаем интегральную запись закона в виде
Шйру+ру^у~рр_^_^_-йЛ=а (5-з)-
т
Так как (5.3) имеет место для любого объема т, то, следовательно,
d _ дх дх„ <5т
-d7-PV + Pvdiw-pF-^r--^--^F = 0. (5.4)
Выполнив дифференцирование в первом слагаемом, можем переписать (5.4) в виде
dv ( do \ дхг дх„ дх,
Р^г + v ("ZT + Р div v) = PF +~dT + 'W + 'dT- (5-5)
Равенства (5.4), (5.5) представляют собой дифференциальную запись закона количества движения в общем случае.
Предположим, что движение сплошной среды происходит при отсутствии источников массы, т. е. q — 0. В этом случае уравнение неразрывности имеет вид (2.6) гл. II. Учитывая это, получим запись закона количества движения в векторной форме:
dv дх„ дхг/ дх
+ + (5-6)
или в проекциях на оси координат:
^. — F I 1 (дхI дУ I дг*А
dt х * р \ дх * ду dz ) ’
dv,, 1 /дт,„ дх,.,. дх, „\
dVz_ р I 1 (дгхг . дхуг . дт„\
dt г ' р \ дх ' ду ' dz )'
Слева в уравнениях (5.6') стоит оператор полной производной. Уравнение (5.6) или эквивалентную ему систему уравнений (5.6') обычно называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях.
Замечание 1. Запись закона количества движения в интегральном виде дается равенством (5.3). При отсутствии
55
источников массы справедливо равенство (2.6) гл. II, в силу чего закон количества движения (5.3) запишется в виде
$$$p47^=$$SpFdT+$STndS’
х X S
ИЛИ
JJ5(pF-pw)dT + JjTndS = 0, (5.7)
г VS
т. е. в каждый момент времени сумма всех сил, приложенных к выделенному объему жидкости, включая и силы инерции, равна нулю.
Замечание 2. Из второго закона Ньютона, записанного для точки d~jj~ = F. следует, что скорость образования количества движения равна силе, т. е. сила — источник, из которого образуется количество движения. С указанной выше точки зрения изменение количества движения в объеме жидкости т происходит по двум причинам: за счет объемного выделения импульса, порожденного массовой силой, и за счет потока импульса через границу области.
ГЛАВА IV
ЗАКОН МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Для механической системы закон момента количества движения формулировался так: производная по времени от полного момента количества движения некоторой системы равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему. Получим запись этого закона для случая движения сплошной среды.
§ 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим массу сплошной среды М\ пусть в данный момент она занимает объем т, ограниченный поверхностью 5. Эта масса обладает количеством движения К и моментом количества движения L. Элемент объема dx содержит массу dm — = рdx, количество движения которой равно рvdx. Момент количества движения этой массы относительно начала координат равен (rXpv)dx. Этот момент связан с поступательным движением и часто называется орбитальным моментом. Для области т
У большинства жидкостей полный момент количества движения совпадает с орбитальным.
Однако так бывает не всегда. Жидкость имеет молекулярное строение, и состояние жидкости связано с движением молекул и их взаимодействием. Столкновения молекул (атомов) между собой приводят к их вращению. Вращение каждой молекулы можно охарактеризовать вектором внутреннего момента количества движения. В обычных условиях в силу хаотичности движения сумма внутренних моментов количества движения равна нулю. В тех же случаях (например, при наличии магнитных или других сильных полей), когда распределение этих моментов не изотропное, суммарный внутренний момент оказывается отличным от нуля. В связи с этим при рассмотрении макроскопического движения частиц необходимо вводить вектор внутреннего момента. Полный момент количества движения частицы складывается из орбитального момента г X dmv, связанного с движением частицы, как целого, и внутреннего момента количества движения, представляющего собой суммарный момент вращений молекул. Обозначим через М внутренний момент количества движения, которым обладает единица массы жидкости М = = M(r, t). Масса dm = pdx будет обладать моментом Мpdx. Для массы в объеме т получим