Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
^-(Р^) + ^-(ро,) = 0.
42
t0 в соответствующем объеме то- Тогда (1.9) перепишется в виде -jrfflpD \a,~t>fc) dadbdc=\\\q da db dc. (3.1)
*0 тэ
Объем т0 не зависит от времени. Производную можно
внести под знак интеграла. В переменных Лагранжа индивиду-
альная производная вычисляется как частная производная, поэтому равенство (3.1) можно записать в виде
<3-2>
Из (3.2) в силу произвольности объема то будет следовать, что д г Р(х, у, г) ] D(x, y,z)_Q dt LP D (a, b, c) J qD(a,b,c) ’ ^ '
ИЛИ
ф , d - D (x, y, z) ,r, n
?+p?lnB(a;b):=4' (3-4)
Уравнение (3.4)—уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в общем случае при наличии источников.
Если q = 0, то
(3-5)
Равенство (3.5) означает, что величина в квадратных скобках не зависит от лагранжевой переменной t, т. е.
D (лс, у, г) _ , Р(х', у', z') ,о
PD(a. b,c)~~Р D (а, b, с) ’ ( '
Равенство (3.6)—уравнение неразрывности в переменных Лагранжа при q — 0. Величины, стоящие слева в уравнении (3.6), вычислены в момент t, справа — в любой другой момент времени t'. Если за момент t' взять момент времени t0, когда х = а, у = b, z = с, т. е. когда декартовы координаты совпадают с координатами Лагранжа, то уравнение (3.6) запишется в виде
D (х, у, г) /о >7\
РЬ(Д,Ь) р0’ (3>7)
или подробнее
Р<а> Ь’ С’ Q в (а, Ь, 3 Ь’ 6')-
Здесь х, у, z — функции координат Лагранжа а, Ь, с, t\ р0 — плотность, вычисленная в момент to.
Если жидкость несжимаема, то р' = р, и уравнение неразрывности, как следует из (3.6) и (3.7), может быть записано в виде
D (х, у, z) _ D (х', у', z') . D(x,y,z)_ ,
D (а, Ь, с) D (а, Ь, с) ’ D(a,b,c) ^ '
43
То, что якобиан сохраняет постоянное значение, равное единице, означает, что объем не изменяется по величине, хотя и может деформироваться.
В случае плоского движения, принимая плоскость движения за плоскость (х, у), можем написать
х = х(а, b, t), у = у{а, Ь, t), z = c.
При этом
D (лг, у, z) D (дг, у)
D (а, Ь, с) D (а, Ь) ’
и уравнение неразрывности запишется в виде
D{x,y) , D (х', у') D (х, у)
- В (а, Ь) ’ ИЛИ Р D(Zrfr = Po-
В случае одномерного движения, когда х = х(а, t), у = си z = с2, уравнение неразрывности будет иметь вид
дх , дх’ дх
Р-^ = Р 1Г' или Р? = Р»'
Укажем на связь между уравнениями неразрывности, записанными в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.
Уравнение неразрывности (3.7) в переменных Лагранжа умножим на бто = dadbdc. Получим
р 6т = ро 6т0.
Здесь 6т = д Уь’ dadbdc — элемент объема, в который в
момент времени t переходит элемент объема бто. Последнее равенство можно переписать так:
-|р(рбт) = 0, -|?-6т + р-^-(6т) = 0.
Отсюда 4т- + Ртг4-(6т) = 0. Но ранее было показано, что
ТГ ЧГ (бт) = div v.
Таким образом, получаем уравнение неразрывности в переменных Эйлера.
§ 4. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Для получения уравнения неразрывности в произвольных криволинейных ортогональных координатах поступим следующим образом. Пусть qi, q2, <73 — криволинейные ортогональные координаты и пусть связь между q\, <72, <7з и декартовыми координатами х, у, z задается соотношениями
х = х (qu q2, Чз), y = y(q ь ft. Яз), z = z{qu q2, ft). (4.1)
44
Рассмотрим криволинейный параллелепипед, образованный координатными поверхностями (рис. 5):
q{ — const, + dq{ — const;
q2 — const, q-2 + dq2 = const; (4.2)
q3 — const, q3 + dq3 = const.
Ребра этого параллелепипеда dsu ds2, ds3 есть элементы дуг, соответствующие приращению координат dqь dq2, dq3:
dsi = Н\ dqi, ds2 == H2 dq2, ds3 = H3 dq3. (4.3)
Здесь Hu tf2> H3 — коэффициенты Ламе:
я-л/Ш
(г = 1, 2, 3).
(4.4)
Объем параллелепипеда в предположении ортогональности координат будет равен
dx = dsi ds2 ds3 — HXH2H3 dqx dq2 dq3. (4.5)
Для того чтобы записать закон сохранения массы, подсчитаем изменение массы 6М за время dt внутри элементарного параллелепипеда двумя способами.
1. В момент времени t масса жидкости ДМ в объеме dx равна
AM = р |< ds 1 ds2 ds3 —