Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
1
X, = х2 - xi, Хг - - ~2~^Xi ^
и совпадают с точностью до обозначений с подстановкой (20i) § 345, на
которой и был основан анализ случая mi = тг.
**) Заметим, что это определение исключает в силу §§ 359, 377а случай
треугольного (лагранжевого) решения, для которого все три массы могут
быть различными. Заметим также, что коллинеарное томографическое решение
удовлетворяет условию pis = Раз лишь тогда, когда т., - т2 (см. (12) §
358).
§S 383-389. ИСКЛЮЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС где ц = mi + m2 -j- тэ.
Положим |Aj| = г,-, j -= 1, 2.
¦\г 2 2 у у/ /
л3 = гз , Л-j-JLj - г3г3,
v'2 I v i ^
Aj +Xj-Aj = r3 + 7у3
и
V y" 2
Aj-Aj - Pjjrj .
так как в силу (212), (27г)
X"=PiiXj.
Таким образом, в соответствии с (2) § 65, где а = Xj .имеем
П (ПП+ П - РиП ) = (ГЛ)2 + № X А ¦)2,
тт. е.
2, №ХА')2
r/j'=pjirj
Iй 2
Так как в силу (27з)
Xj х x'j' - о,
то
Xj X X'j = Ait где Aj = const. Таким образом,
// 2 , Aj
rirl = Pnri + ~г~,
'I
з2
// 2 , -Ч2
r2r2 = P22^2 H - ,
Г2
2
где
mi + m2 m3
P*1 ^r2 _L_ л,.л,"г2 '
H + ViV2r2 У
mi -|- m2 -|- m3 P22_ (^+VlV2^)'/*
25 А. Уинтнед
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
(см. (27() и (2G±) - (263), где ¦Xf = rf). Наконец, подставляя
(262) - (2б3), где АД-'ГД в (232) - (244), увидим, что в силу
(24*)
1 ,ж. 2 , " 2W/ ..I- , т'т2 , т3(гП1 + т2)
- (M,r, +М,г,) _ гн -г - + ,^+ViwJ)).4 ,29)
где Mj, Vj определяются согласно (19i), (20г) при h - const.
Соотношения (284) - (282) представляют собой два обыкновенных
дифференциальных уравнения, которые при заданных четырех начальных
значениях r,(t°), r/(i°), j - 1, 2, определяют обе функции /¦ j-(i), j =
1, 2, единственным образом. Однако эти функции должны удовлетворять также
уравнению (29), так что имеем фактически не два, а три обыкновенных
дифференциальных уравнения (алгебраических) для двух функций ^(t), r2(t).
В соответствии с этим основная идея доказательства, упомянутого в начале
параграфа, может быть описана кратко следующим образом.
Аналитические функции п, г2 переменной t, определяемые уравнениями (28*)
- (282), обладают в соответствии с этими уравнениями особыми точками в
комплексной области. Вместе с тем уравнение (29) также обусловливает
наличие некоторых комплексных особых точек. Эти особые точки, хотя и не
сами функции r2(t), могут быть определены a priori с помощью
соответствующих операций на основании теории аналитических функций. Но
подробный анализ показывает, что особые точки функций rz(t),
соответствующие (28})- (282), не совпадают с теми, которые определяются
согласно (29), лишь тогда, когда тч2^= = Ъ2 + viv^i2 или т 1 = т2. Так
как в первом случае соотношения (262) -(263), где Xj2 = гД показывают,
что pi2 = р23 = рзк то, следовательно, т\ = т2, если только мы не имеем
дело с треугольным (лагранжевым) решением *).
Конечно, было бы желательным построить доказательство, основанное на
динамических, а не на функционально-теоретических принципах. Однако
весьма сомнительно, что такое доказательство существует. Во всяком
случае, данный результат весьма сильный и выглядит гораздо более
глубоким, чем (ii) § 371 (несмотря на § 374а).
§ 389а. Аналогичная проблема возникает при любом п~> 3. Действительно,
если п > 3, то все известные компланарные (но не плоские) решения задачи
п тел обладают свойством симметрии, аналогичным тому, которое присуще
пространственным равнобедренным решениям (i) - (ii) § 346. Следовательно,
возникает во-
*) См. предыдущее примечание.
§§ 390-406. ИСКЛЮЧЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
387
прос о необходимости этих свойств симметрии для любых масс и конфигураций
в случае коллинеарных, но не плоских решений при п > 3. Эта проблема
представляется весьма трудной. Возможно, что она связана с соображениями,
аналогичными тем, которые были приведены в § 389.
ИСКЛЮЧЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
§ 390. Обозначим через giv, ti,-v, Cv, v = I, II, III, компоненты 3-
векторов gi, г],-, С и положим
^v = 2 (M-EiV), (зо)
где
(a, p, v) = (I, II, HI)- (H- HI, I) (HI- I- И).
Тогда интеграл (Юз), выражающий постоянство кинетического момента,
уравнений (9i) можно записать в виде трех скалярных интегралов
F4 - Cv *).
Так как на основании (30) легко установить, что
(fP; Fa) - Fv
(см. обозначение (19) § 20), то из § 92 вытекает, что гамильтонова
система не может обладать лишь двумя из трех интегралов (30) **) и не
обладать третьим интегралом. Тем не менее эти три интеграла являются
независимыми в указанном в § 18 смысле, т. е. ни одна из трех функций F*
= -Fv(tj, g) не является функцией f- t(Fa, F$) двух других.
Действительно, частное дифференцирование показывает, что якобиан для трех
функций (30) по отношению к трем переменным тц1, тр1, Дг11 не обращается
тождественно в нуль.
*) Представляет формальпый интерес тот факт, что три компонента (30)
кинетического момента X тц могут быть выражены через элементы 2л-матрицы
(16) § 19 в виде трех скалярных произведений
fi - уз.г У"
где через T7V обозначен 2п-вектор с компонентами гр'1, ..., g,v, ...,
