Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
правильного (га-1)-угольника и имеют все одинаковую массу, равную гаг, а
тело тп находится в центре этого (га - 1)-угольника и имеет массу тп = 1.
Общая масса всех тел равна
2raii = гаг (га - 1) +1.
Максвелл в своей теории кольца Сатурна показал*), что решение
относительного равновесия, соответствующее этой центральной конфигурации,
имеет характеристические показатели, принадлежащие все к устойчивому
типу, по крайней мере тогда, когда гаг < 2 / га2. Заметим, что при этом
условии гагаг -> 0, если тп фиксировано и га -> оо, так что вся масса га
- 1 тел (равная гаг (га - 1)), образующих "кольцо", тем меньше, чем
больше га.
ИСКЛЮЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
§ 383. Инвариантное соотношение Егаг,!,- = 0 для уравнений движения в
барицентрической системе координат
= иг .
было в § 341 исключено благодаря введению га - 1 гелиоцентрических
позиционных векторов Xj, так что
Xj - в; in. (ll)
Pjfc == [ Xj Xk |, pjn == [ Xj | (/, k 1,..., ra -- 1). (I2)
*) Фактически Максвелл предполагал, что тп занимает фиксированное
положение, т. е. пренебрегал действием "кольца" (лц, ..., тп_() на
"Сатурц" т",
378 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Выражения для Т и U были получены следующие (см. (5) - (6) S o41j-
О . \2
Т = - vijXj ---------------------------------------, (2Л
2 3 2 ц ' v '
тт mimk , mi ч
U - 2 ~b mn 2 , (2-г)
Pjh pjn
где p = 2m, и
о "_1 +
2 =2. 2 = 2 (3)
j=l
Мы имеем также (см. (Юг) и (9Д § 341), что
/О \ 2
0 (2 Щ*1)
J = 2 -------, (4,)
0 (2 тл)х(2 тд)
2 m;(xj X Xj)--------------------------------= С. (49)
И
Наконец, уравнения Лагранжа [L\Xj- 0 имеют вид (см. (Hi) --(Иг) § 342)
Xj + (mn + ntj) -j-jj- = fix' , (5"
\xi\ 3
где
r-r^-) "У
J h==1 4*k -*il Ы
причем штрих в последней сумме означает, что к ф j.
Представим теперь эти уравнения в гамильтоновой форме. С этой целью
заметим сначала, что выражение (БД § 341, где Т = Т(х/,..., Xn~i , х-п'),
получено с помощью неособого линейного преобразования выражения
7г2нг,?/2, и поэтому (6i) представляет
положительно определенную форму переменных х/ ,..., хп-\. Следовательно,
из (6i)- (62) § 341 видно, что квадратичная форма (2i) настоящего
параграфа является положительно определенной. Другими словами,
условие (2Д § 155 удовлетворяется,
а поэтому к лагранжевой функции L = Т + С/, определяемой в
соответствии с (2Д - (22) настоящего параграфа, применимы ре-
§§ 383-389. ИСКЛЮЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС 377
зультаты, изложенные в § 158. Следовательно, если у\,..., i/n-t - 3-
векторы, компоненты которых канонически сопряжены с компонентами
гелиоцентрических 3-векторов xi, ... , xn-i, то гамильтонову функцию,
соответствующую лагранжевой функции L - - Т + С/, мы получим, выражая Т в
формуле Н = Т - U, с помощью переменных у, = Ьх . Чтобы провести эти
выкладки, заметим сначала, что
Щ~1У] = Xj - IJL-^mkXh, (61)
rrijXj' = yj + mn-lmjZ0yk. (62)
Действительно,
Уз : Ijx' = Tx> + Ux, - Tx>,
3 3 3 3
так что (6i) вытекает из (2i). С другой стороны, (62) получается
обращением линейного преобразования (6)) переменных ж/, ...
. .., х'п_х в г/i, ..., г/п-1. К такому выводу придем, если вычислим
сначала 2°р,- на основании (6i) и заметим, что выражение для р = 2яг*
можно записать в соответствии с (3) в виде
р = тпп +
Таким образом, соотношение (62) удовлетворяется тождественно в силу (61).
Подстановка же (62) в (2j), (42) показывает, что
/ 0 \ 2
10 а (2 Уз)
Т = nj'yf + Y- ------------------• (7")
2 хз X Уз - С- (7г)
§ 384. В соответствии с изложенным выше гелиоцентрические лагранжевы
уравнения (5i) в гамильтоновой форме имеют вид
Уз = Нх ., Xj = Ну., (8)
где функция Н = Т - U определяется согласно (74), (22), (12).
Вместе с тем гамильтонова форма барицентрических инерци-альных
лагранжевых уравнений (5) § 314 следующая (см. § 320):
Т= Е; = Яч., (9.)
где
я="2 "г1
378
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
И
r\i=rml', (92)
причем (92) вытекает из (9i), так что в соответствии с (4j) - (43)
С ООП
SunEi = 0, (100
2тц = 0, (1Q,)
SSiXri, = C. (Юз)
Заметим, что / и ? в (8) и (9j) принимают значения от 1
до га - 1
и от 1 до га соответственно и что (10i) - (102) представляют со-
бой инвариантную систему для (9t). Цель перехода от уравнений (9i) с Зга
степенями свободы к уравнениям (8) с 3(га - 1) степенями свободы и
заключается в исключении барицентрических условий (10i) - (Ю2).
Так как
2 =0, 2 mi = ^
то ИЗ (lj) и (3) видно, что
2 mjXj =
Поэтому из (6Ц вытекает, что
-1 ' ¦
Wj Z/j - Xj -f- ?n.
Следовательно, т);- = yj в силу (lt) и (92), так что гелиоцентрические
импульсы совпадают с барицентрическими инерциальны-ми импульсами т);-, /
= 1, ..., га - 1. Вместе с тем гелиоцентрические координаты Xj отличны
при любом / от барицентрических инерциальных координат (если только тело
тп не окажется расположенным в центре масс ? = 0 всех га тел). Таким
образом, очевидно, что связь между гелиоцентрическими импульсами z/j и
скоростями Xj' не может быть такой же, как между барицентрическими
импульсами т];- и скоростями ?/.
