Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
i = 4-S"><(i? + 4?)+S'----. (20.)
1 PJk
где
Р№ = (Б*-Ь01 + (Л*-ти-)2 (29.)
и через g, г) обозначены для простоты компоненты g1, g11 3-вектора (Е1,
I11! ?ш) = (^Г1 0) в барицентрической системе координат.
Наряду с барицентрической инерциальной координатной плоскостью (g, г))
рассмотрим барицентрическую неинерциальную плоскость (х, у), вращающуюся
вокруг общего начала с некоторой постоянной угловой скоростью со, так что
gi = Xi cos at - yi sin at, у r)i = sin at -f- yt cos at, )
если начало отсчета времени t выбрано так, что (х, у) = (g, т]) при t -
0. На основании (30) легко установить, что
Ъ? + {x'i - aI/i)2 + (г/i -f axi)z, (31i)
9jh~(Xj - xh)2 + (yj - yk)2. (31.)
Подставляя (31i) - (312) в (29i) и составляя лагранжевые производные,
сразу найдем, что уравнения движения [L]* = 0, = 0 во вращающейся системе
координат (я, у) имеют вид
m.i(x" - 2ау/ - a2xt) = t/, ,) т,г(у" + 2axi- a2yi)= UV,J где
jj ^ mim\
Pjft
выражается согласно (312).
Так как все выписанные формулы справедливы при любом го = const, то из
(II) § 370а вытекает, что решение g, = h(t), т)j = r)i(/) относительного
равновесия характеризуется существованием соответствующего значения со =
const такого, при
24 А. Уивтнер
(32)
370
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
котором уравнения (32) имеют решение вида
Xi(t) = x°i, yi(t)s=y°i, (33i)
2 mixi = 2 ,n^'° - (33z)
где Xi°, yi° - соответствующие скалярные постоянные, удовлетворяющие
барицентрическим условиям (33z).
Подстановка (33i) в (32) приводит к соотношениям
=
о
Xi - Xk п О -СТ
тъ - ---------------, vriji = 2- mh
Р
v ik k=i
k=l
0 0 Уг - Ук орз
vi*.
(34)
°Pik = { {xt- xl)* -f(y°- ^ )*}'/.,
где штрих означает, что к L Поэтому из последнего замечания § 378
вытекает, что задача об определении всех совокупностей 2л + 1 констант
я,0, у*0, ш, удовлетворяющих 2л + 2 условиям (34), (ЗЗг), эквивалентна
задаче о выделении всех компланарных центральных конфигураций заданных
масс т,{ (см. § 360).
Из (34), (ЗЗг) видно, что если (33i) есть решение относительного
равновесия для заданных масс лг,-, соответствующее скорости ш, то
о о
Xi = pxi, yi = рyi
есть также решение для тех же масс лг,- и угловой скорости ы при
любом положительном числе р (это согласуется с замечанием, сделанным в
конце § 315). Оказывается, что это произвольное изменение линейных
размеров вместе с возможным переходом от t к ±t + const исчерпывает все
решения относительного равновесия, соответствующие одной и той же
центральной конфигурации масс m,i (см. в конце § 355).
Действительно, согласно изложенному в конце § 378 необходимо
удовлетворить условию
1 + 2ЬР\С°\г - 0, так что отношение h°: |С01-2 определяется однозначно.
Знак ш может быть выбран, конечно, произвольно, так как замена со на -со
эквивалентна в силу (30) переходу от t к - t.
§ 380. Вычислим для иллюстрации угловую скорость решений относительного
равновесия в задаче трех тел.
В коллинеарном случае задачи п тел можно выбрать ось х вращающейся
системы координат (х, у) так, что все у,0 = 0. Пред-
375-382. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 371
I
+1
положим дополнительно, что 2+ ¦< 2+ х . Тогда формулы (34) сво
дятся к следующим:
г-i
тк г, тк
так как
"г**; = 2----------------------------------------2
0 = 0,
0 0 , I 0 - I
Xi - хк = ± I Xi - xh | = ±°pift
(35)
при i ^ А. Разумеется, первая сумма в правой части (35) равна нулю при i
= 0, а вторая сумма при i = п. Таким образом, при п - 3 получим из (35),
что ю2^0, ш2^0, а>2хз° равны
7712 771з 7713 771± 771± 771%
°р2 V ' ~ °р2 .'*"'°pz'~' +^" +т0-
12 ^13 23 ^12 +3 "23
соответственно. Если составить две линейные комбинации
шг(х2 - х°)= ..., ш2(хз - xl)- ... этих трех условий и учесть равенства
0 5___ л 0 0___ п л n I п
*2. - XI = °Р21, Х3 - Х2 = °Р23, °Р13 = °Р12 + Р23,
то придем к выводу, что достаточно определить три положительных числа
0pi2, °р2з, ш2, удовлетворяющих двум условиям
7711 + 7712 772-3 7723
°Pl2?02 -
°Р23Ш2 =
°Р212 (°Р12 + 0Р2з)2 °Р2з
771 з + /712 7711 772-1
°р223 + №12 + "р^2
(36)
Действительно, если 0p2i и °ргз известны, то х±°, х2°, Хз° найдутся
единственным образом из барицентрического условия 2 771,2,0 = 0.
Определив матрицу (ард) второго порядка по формуле
(°11 °ia\ _
№1022 /
7711 + 7722 77l3 7723 7И3
(0Pl2 + °Р2з)3 (°Pl2 + °p23) °P323
mi mi " ms + mx
Cl)" -----------------------------------
(37)
?i)a
(°Pl2 +°Р2з)3 °P312 °P323 (°Pl2+ °Ргз)3/
24*
372
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
можно переписать (36) в виде
°Pl2^H - °P23fTl2i °pi2^21 = °Р23СУ22-
Так как 0pi2, °ргз положительны, то определитель (37) равен нулю хт,
кроме того, Оц, 022 имеют тот же знак, что и Oi2, 021 соответственно.
Однако Oi2, 021 отрицательны, поскольку множители при m3, тп\ в (37)
положительны. Следовательно,
Ор, <0 (р = 1,2; q = 1,2), (З81)
ОЦО22 - 012021 = 0. (З82)
Наконец, полагая
Р = °Р12 + °Р23, к = °Р12 : °Р23
и выражая затем определитель (37) с помощью р и А, сразу увидим, что
(З82) можно записать в виде
ш2р3 = rrii + rrii + тп-iX 1 + ^)2(1 + ^2), (39)
