Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
достигнет точки поворота С, развернется и уйдет на отрицательную
бесконечность. Если же она двигалась влево, то сразу уйдет на
отрицательную бесконечность. Подобное замечание можно сделать и в том
случае, если частица находится справа от G; ее движение заканчивается на
положительной бесконечности либо сразу, либо после поворота в точке G.
Ограниченная орбита между точками D и F аналогична ограниченной орбите в
случае 1. Частица на такой орбите имеет достаточно энергии, чтобы уйти на
плюс или минус бесконечность, но она не может пройти через промежуточные
барьеры. Аналогично, хотя полная энергия будет сохраняться, частица не
может перескочить из одной неограниченной области в другую. Этому мешают
барьеры между ними.
(3) При энергии Аз, как показано, существуют две неограниченные
пространственные области, одна с точкой поворота в Н, а другая в J. Они
не связаны между собой, благодаря наличию барьера.
(4) При энергии Е4 выше максимума потенциала существует единственная
пространственная область, простирающаяся от минус до плюс бесконечности.
Здесь отсутствуют точки поворота. Если частица движется издалека слева,
она сохранит свое движение к плюс бесконечности; и наоборот, если она
движется справа, то уйдет на минус бесконечность. Точки поворота в этом
случае отсутствуют.
Квантовомеханический случай
Во-первых, отметим, что, несмотря на все странности, квантовая механика
разделяет с классической то свойство, что полная энергия Е не может быть
меньше Vmin, соответствующего минимуму потенциала. Но в то время, когда
все энергии Е > Vmin разрешены классически, в случае квантовой механики,
в зависимости от вида потенциала, спектр энергий может быть дискретным,
непрерывным или смешанным. Мы ограничимся в данном комментарии двумя
широкими классами потенциалов.
(1) Потенциалы, которые стремятся к плюс бесконечности по мере того, как
х стремится к плюс или минус бесконечности: V(x) -> 00, при \х\ -> оо.
Классически, все орбиты в таких потенциалах ограничены.
Квантовомеханически, спектр энергий будет дискретным (квантованным) и это
означает, что близкие значения энергий отличаются на конечную величину.
(2) Потенциалы, которые стремятся к нулю, когда х стремится к плюс или
минус бесконечности: V{x) -> 0, при \х\ -> сю. Потенциал, изображенный на
рис. 4.2, относится к этому классу. В этом случае спектр непрерывен для
всех энергий Е > 0. Если минимум потенциала положителен, Vmin > 0, на
этом все и кончается; здесь
102
Глава 4
не существует собственных значений при Е < Vm-in, а следовательно, для Е
< 0. Если V{x) отрицательно для некоторой области х, в интервале V(ж) < Е
< 0 могут существовать, а могут и не существовать дискретные собственные
значения. Если они существуют, то образуют дискретный спектр.
Таковы общие комментарии. Чтобы получить дополнительные отличия, вернемся
к частному виду потенциала, изображенного на рис. 4.2. Снова рассмотрим
несколько различных областей энергии.
Предположим, что при Е < 0 существует по крайней мере одно ограниченное
состояние, а, возможно, и больше. Пусть Е\ - собственное значение энергии
для такого ограниченного состояния. Собственная функция тогда будет в
основном сконцентрирована в классически доступной области между
классическими точками поворота А и В. Но эта функция будет отличаться от
нуля и в классически запрещенной области слева от А и справа от В.
Поэтому появляется конечная вероятность обнаружить частицу в классически
запрещенной области! Это основное отличие: частица может проникать в
классически запрещенные области.
При всех Е > 0 спектр непрерывен, но здесь также существуют некоторые
странности квантовомеханических свойств. Обратимся к ним. Предположим,
что в некоторый начальный момент времени существует состояние, которое
является суперпозицией состояний с энергиями, близкими к энергии E<i,
показанной на рисунке. Распределение вероятностей, связанное с такой
волновой функцией, - волновой пакет - будет двигаться как материальное
тело и изменять свою форму с течением времени. Расположим вначале этот
пакет таким образом, чтобы он находился далеко слева от точки С и
двигался вправо. Благодаря конструкции, пакет представляет собой частицу
с почти определенной энергией Е2. Классически, такая частица должна
отразиться в точке С и двинуться обратно. Квантовомеханически, пакет по
мере приближения к точке С начнет "чувствовать" и распадаться на две
части, одна из которых отразится на минус бесконечность, а вторая будет
двигаться к плюс бесконечности, пройдя точку G. Поэтому существует
конечная вероятность туннелирования - прохождения через классический
барьер. В действительности существует два таких барьера, которые должны
быть преодолены при обсуждаемых здесь энергиях. При этом следует отметить
еще одно интересное квантовомеханическое свойство. Предположим, что
первоначальный пакет сконцентрирован в классически ограниченной области
между D и F. Классическая частица, разумеется, будет удерживать в этой
