Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
декартовых компонент импульса запишутся в виде
Рх = Ру = Pz = (4.17)
ox ay oz
Для примера, когда px действует на некоторую функцию /, получается
функция д = -ih Соответствующее уравнение на собственные
значения (4.13) может быть записано в виде рхи = рхи.
Таким образом, мы имеем дело ни с чем иным, как с собственными функциями
оператора импульса. В качестве примера возьмем компоненту рх. Когда
оператор действует на произвольную функцию, обычно он приводит к другой,
линейно независимой функции. Но когда он действует на собственную функцию
импульса, обозначенную здесь и, он дает ту же функцию, умноженную на
число. Это число и есть собственное значение рх. Такая ситуация является
общей. Установив соответствие между оператором и наблюдаемой величиной,
можно записать уравнение на собственные значения. Если В является
оператором, то вид этого уравнения Ви = Ъи, где Ь - параметр. Каждое
значение Ь, для которого существует хорошо определенное решение, и
является собственным значением. Соответствующая функция и является
собственной функцией. Elaine основное предположение состоит в том, что
при измерении наблюдаемых могут быть получены именно собственные
значения.
Операторы, соответствующие декартовым компонентам импульса, мы уже
обсуждали. Операторы координат устроены еще проще. Е1апри-мер, оператор
х, действуя на любую функцию f(x, у, z), просто умножает ее на переменную
х: xf = xf\ аналогично действуют и другие координаты.
Мы идентифицировали операторы с наблюдаемыми координат и импульсов. Что
можно сказать относительно других наблюдаемых? Для энергии у нас уже есть
уравнение на собственные значения; в случае одиночной нерелятивистской
частицы оно представлено уравнением (4.1). Рассмотрим его с точки зрения
операторов. Классически, сумма кинетической и потенциальной энергии дает
полную энергию Е
2~ (Рх +Py+P2z) + V(х> У? z) = Е-
Чтобы получить квантовомеханический оператор энергии, кажется
естественным просто заменить классические импульсы в вышеприведенном
выражении на соответствующие квантовомеханические операторы. Точно также
можно поступить с потенциальной энергией. Оператор потенциальной энергии,
действуя на функцию, умножает ее на V(x, у, г).
Концепция операторов
91
Операторы импульса, как отмечалось выше, приводят к дифференцированию.
Получающийся оператор называется гамильтонианом и будет отмечаться
тильдой над буквой Н. Тогда уравнение на собственные значения для энергии
будет иметь вид
Здесь и является собственной функцией, а Е - соответствующим собственным
значением. Мы переоткрыли уравнение (4.1)! Нетрудно видеть, что оператор
Гамильтона играет в квантовой механике специальную роль. Он управляет
эволюцией во времени волновой функции системы. Уравнение Шредингера
(4.2), компактно записанное через гамильтониан, имеет вид
Что же еще, кроме компактной записи, мы приобрели с концепцией
операторов? Пока что только согласованность. Идентифицировав операторы
координат и импульса, мы смогли проверить, что уравнение на собственные
значения энергии (4.1), с которого мы начали, действительно является
уравнением на собственные значения оператора Гамильтона; а также то, что
оно получается из классического выражения для энергии заменой переменных
координат и импульсов на квантовые операторы. Уравнение (4.2) является
достаточно общим и справедливо как для одиночной частицы, так и для
набора частиц или квантового поля.
Такой успех вдохновляет нас на то, чтобы расширить операторный подход на
другие наблюдаемые, по крайней мере такие, которые имеют классическое
воплощение. Процедура состоит в следующем: возьмем интересующую нас
классическую наблюдаемую величину, представленную через координаты и
импульсы, после чего заменим переменные координат и импульсов через их
квантовые операторы, и в результате получим квантовый оператор. Мы
коротко проиллюстрируем эту процедуру при получении оператора
орбитального углового момента.
Для двух данных операторов А и В, и функции /, выражение ABf дает
результат, который получается сначала действием В на /, а затем действием
оператора А на /. Порядок действия операторов важен, поскольку в общем
случае ABf ^ BAf. Разность произведений операторов АВ - ВА называется
коммутатором этих операторов.
Ни = Ей,
(4.18)
где
(4.19)
Коммутационные соотношения
92
Глава 4
Рассмотрим пример соотношений коммутирования операторов. Рассмотрим
операторы координаты и импульса, которые были введены выше. Нетрудно
проверить, что для произвольной функции /,
xpxf = -ihx-^f; pxxf = -ih-^(xf) = -ihx^ + ihf.
Поскольку они справедливы для произвольной функции /, получаем следующее
коммутационное соотношение
хрх-рхх = гН. (4.20)
Коммутационные соотношения получаются как разность произведений двух
операторов, взятых в противоположном порядке. Если эти два произведения
дают одинаковый результат, то говорят, что операторы коммутируют.
Достаточно легко проверить коммутационные соотношения для других
