Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
специальных предположений при выборе направлений координатных осей, их
всегда можно переориентировать, выбрав предполагаемое направление L за
новое направление оси z. Тогда те же аргументы говорят нам, что L не
может быть направлен туда, куда, как мы считали, он направлен. Чтобы
закончить с этим абсурдом, мы должны отказаться от классического образа
вектора углового момента, имеющего некоторое определенное направление в
пространстве. Квантовая механика очень эксцентрична.
Конечно, классическое мышление совсем не плохо в макроскопических
ситуациях. Микроскопическая единица углового момента равна Н. Это очень
малая величина в масштабах того, что происходит в повседневном мире. При
вращении любые макроскопические тела будут иметь величины углового
момента, значительно большие, чем h. Тогда, при больших значениях I,
дискретное изменение L2 при изменении от I к 1 + +1 будет совсем
незаметно. Поэтому в макроскопическом мире возможные значения L2 будут
практически непрерывны, т. е. будут вести себя классически. Поэтому не
совсем законное понимание определенного направления L становится вполне
законным для физически реалистичных, макроскопических ситуаций.
Вернемся теперь к задаче на собственные значения для углового момента и
сосредоточимся на собственных функциях; назовем их гц,т,. Они должны
нумероваться двумя индексами и лучше всего выражаются в сферических
координатах г, в, р ("полярный" угол в - это угол между радиус-вектором г
и осью z\ "азимутальный" угол <р - угол между осью х и проекцией г на
плоскость х-у). Нетрудно понять, что каждая функция ui?m[ является
определенной функцией углов, умноженной на
Угловой момент
95
функцию радиальной переменной г:
ui,mi = Д(г)Г(tm)!(0, ?>)•
Функция R(r) пока может считаться произвольной, т. к. нас интересует лишь
угловой момент. Однако сферические гармоники Уjm' являются вполне
определенными функциями угловых переменных. Здесь выписаны некоторые из
них
у""=щц ?>=\Ц'Ше'"-
*1° = \ тг- COS0, УГ1 = ,/#- sinfle-
1 V 4тг 1 V 8тг
Спин
Существует определенная часть частиц, которые обладают внутренним
свойством, аналогичным угловому моменту. Это свойство называют спином, и
он является дополнением к угловому моменту, связанному с орбитальным
движением. К частицам, которые обладают этим свойством, можно отнести те,
которые образуют обыкновенную материю: электроны, фотоны, нейтроны. Как
уже обсуждалось в главе 2, представляя спин, можно представлять частицу в
виде тонкой сферы, спиновой угловой момент которой появляется из-за
вращения вокруг оси, проходящей через центр частицы. Такую аналогию
подсказывает вращение Земли. Земля имеет не только орбитальный угловой
момент, связанный с вращением Земли вокруг Солнца, но и внутренний
угловой момент, появляющийся из-за вращения вокруг полярной оси. Конечно,
такая картина в мире микроскопических частиц может восприниматься лишь
как некоторый образ. Квантовомеханически уместно лишь сказать, что для
определенного типа частиц существует вектор наблюдаемых S, который
является дополнительным к наблюдаемым, определенным через координаты и
импульсы; а также, что декартовы координаты S связаны друг с другом так
же, как компоненты орбитального углового момента L. Компоненты S не
коммутируют между собой, но каждая из них коммутирует с S2.
Спиновой угловой момент отличается от орбитального тем, что его величина
вовсе не является динамической переменной. В орбитальном случае возможные
значения величины L2 являются собственными значениями, описываемыми
уравнением (4.21). Квантовомеханическое отличие от классики проявляется в
том, что спектр не непрерывен, а может принимать бесконечно много
возможных значений. Для спина S2 - фиксированная количественная
характеристика типа частицы. Его значения равны
S2=s(s+l)h2, (4.23)
96
Глава 4
где, в зависимости от типа, s является либо целым, либо полуцелым числом.
Для любых декартовых компонент, скажем Sz, существует 2s + 1 значений
Sz=msh, ms = -s7 -s + 1, ..., s - 1, s. (4.24)
Эти два соотношения выглядят аналогично (4.21) и (4.22), но, как
отмечалось выше, в противоположность орбитальному квантовому числу I, s
не может принимать весь интервал значений. Это число фиксировано.
Существует и другое отличие от углового момента. Для дальнейшего
обсуждения заметим, что квантовое число I ограничено целыми значениями, в
то время как s может быть целым или полуцелым. Существуют только две
возможности, следующие из общей квантовомеханической картины. Для
электронов, нейтронов и протонов s = 1/2; для пионов s = 0; и так далее
для частиц другой природы. Разница между целым и полуцелым спином не
является малой или чисто технической. Различие здесь очень глубокое.
После этого уместно заметить, что мир был бы удивительным местом, и нас
бы в нем не существовало, если бы электроны, нейтроны и протоны были бы
частицами с целым спином.
Возвращаясь к (4.24), мы видим, что существует всего 2s+l спиновых
