Этот странный квантовый мир - Трейман С.
ISBN 5-93972-117-6
Скачать (прямая ссылка):
степеней свободы; вследствие этого существует именно столько линейно
независимых собственных состояний оператора Sz. Поэтому для электронов и
других частиц с полуцелым спином существует всего две спиновые степени
свободы. Произвольное спиновое состояние является линейной комбинацией
этих двух собственных состояний Sz. Это звучит как некоторая магия,
связанная с осью z. Но означают эти слова только то, что измерения
спинового углового момента вдоль любого направления могут быть равны ±^.
Собственные состояния компонент углового
момента в некотором направлении не являются собственными состояниями
компонент в другом направлении. Это справедливо не только для спина или
углового момента. Но существует иллюстрация как раз на примере спина
электрона (или любой другой частицы спина 1/2). Предположим, что электрон
находится в собственном состоянии Sx с собственным значением +Н/2. Для
такого состояния измерение компоненты х спина будет давать результат со
100% вероятностью. Однако это состояние является линейной комбинацией
собственных состояний Sx. Измерение z-x компонент спина будет давать
значение ±Н/2, причем оба значения, в данном примере, будут появляться с
равной вероятностью.
Полный угловой момент
Частица со спином имеет два типа углового момента, орбитальный L и
спиновой S. Вполне естественно определить полный угловой момент как
J = L + S. (4.25)
Энергетические аспекты
97
Это выражение говорит о том, что декартовы компоненты J связаны между
собой точно так же, как компоненты L и S. Как и в рассмотренных случаях,
декартовы координаты J не коммутируют друг с другом, но проекция J вдоль
любого направления коммутирует с квадратом полного углового момента J2. В
качестве такого направления мы обычно будем выбирать ось z. Более того, в
последующем простом и очень существенном случае s = 1/2. Тогда
собственные значения J2 равны
J2=j(j + i)h2, з = ; (4.26)
значит, для данного j, Jz может принимать 2j + 1 значений
Jz = nijh, rrij = -j, -j + 1, ..., j - 1, j. (4.27)
И тут возникает нечто интересное. Наблюдаемые J2, Jz и L2 коммутируют
друг с другом, поэтому собственные состояния будут собственными не только
для J2 и Jz, но и для L2. Состояния, одновременно являющиеся собственными
для всех трех наблюдаемых, можно занумеровать тремя квантовыми числами j,
rrij и I. Можно поинтересоваться: какие значения I возможны для данного
у? Ответ в том, что таких значений только два:
1=3 + 4.2, 3~% (4-28)
Энергетические аспекты
Большая часть повседневных усилий людей, практически занимающихся
квантовой механикой, посвящена энергетическим проблемам, - при
столкновении с задачей на собственные значения, рассмотрении физически
приемлемых приближений там, где возможные точные решения уже давно
получены (что является наиболее частой ситуацией), а также при попытке
развить физическую интуицию. Задачи на собственные значения для импульса
и углового момента могут быть решены точно, и будучи однажды решены,
остаются такими всегда. Но проблема определения энергетического спектра
меняется от одной задачи к другой, в зависимости от деталей функции
потенциальной энергии. Энергия интересна и по другим причинам, т. к. она
имеет специальный статус среди всех квантовых переменных. Гамильтониан,
который является оператором энергии, определяет эволюцию во времени для
квантовой системы в смысле соотношения (4.19). Хотя мы иллюстрируем
принципы квантовой механики для одночастичной системы, это уравнение
будет справедливо и для многочастичных систем, если соответствующий
гамильтониан расширен способом, описанным ранее.
98
Глава 4
Эволюция во времени
Задача эволюции во времени состоит в нахождении волновой функции в
произвольный момент времени t, если она известна в некоторый начальный
момент. Для этого предположим, что мы решили задачу на собственные
значения для энергии, так что в нашем распоряжении полный набор линейно
независимых собственных функций энергии ип и соответствующих собственных
значений Еп. Математическим фактом, исключительно важным для
интерпретации всего аппарата квантовой механики, является то, что
множество собственных состояний любой физической наблюдаемой образует
полный набор. Для нас это означает, что любая хорошо определенная функция
может быть представлена как линейная комбинация собственных функций. В
частности, реальная волновая функция системы Ф(ф в момент времени t может
быть разложена по собственным функциям энергии ип:
где коэффициенты An(t) определяют изменение во времени, а собственные
функции зависят от пространственных координат, но не от времени. Волновая
функция Ф(() зависит от координат пространства через функции ип, но мы не
выписываем здесь эти переменные. Предположим, что нам известна
зависимость Ф(0) от пространственных координат в некоторый начальный
момент времени t = 0. Поэтому в начальный момент времени мы знаем
коэффициенты разложения Д"(0). Из уравнений (4.18) и (4.19) нетрудно
