Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
где знаки суммирования опущены. Учитывая к тому же статическую природу
полей (80.3), приходим к упрощенному
206
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
соотношению
т" = -тЪ' (806)
подстановка которого в (80.5) позволяет найти уравнение
d*xa 1 dgu
d(*4)a - 2 дх'
а
(80.7)
Этот результат, однако, легко переписать в форме, близкой к ньютоновой
теории тяготения, если ввести обычные пространственные и временные
переменные через галилеевы координаты
х]-х, х2-у, x3=z, x4-ct (80.8)
и связать ньютоновский потенциал ф с ?44 выражением
= Т- = const
¦5- = Skf1. §44=1+^-. (80.9)
Аддитивная константа здесь должна быть выбрана так, чтобы потенциал ф
стремился к нулю в свободном пространстве на больших расстояниях от
гравитирующих тел, где gM"l, как этого требует специальная теория
относительности. Подставляя
(80.8) и (80.9) в (80.7), мы можем записать этот результат в
привычной ньютоновской форме:
d2x _ _дф_ __ _ дф d?z_ ?ф_ "л tf|4
dt* ~ дх ' dt* ~ 'ду ' dt2 дг '
б) Уравнение Пуассона как приближение к уравнениям Эйнштейна. В
заключение, чтобы полностью оправдать предложенную выше интерпретацию
ньютоновского потенциала ф, мы должны также показать, что релятивистские
уравнения Эйнштейна дают нам в первом приближении ту же самую зависимость
ф от распределения материи, что и уравнение Пуассона в ньютоновой теории
тяготения.
Начнем с того, что если выражение для тензора энергии - импульса (37.8)
из специальной теории относительности записать в координатах (х1, х2, х3,
х4), то все компоненты этого тензора в нашем случае приближенно обратятся
в нуль, исключая компоненту
Г4"=с2р,
если только мы имеем дело со слабым статическим полем и если тензор
механических натяжений pi} пренебрежимо мал по сравнению с плотностью
энергии, как это бывает в обычных задачах.
§ 80. НЬЮТОНОВА ТЕОРИЯ КАК ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
207
Кроме того, вследствие особенно простого выбора значений компонент
метрического тензора g(см. (80.2)), позволяющего поднимать и опускать
тензорные индексы, мы в данном случае имеем
= Т\ = Тц = Т = с3р, (80.11)
в то время как все другие компоненты тензора энергии - импульса равны
нулю.
Далее, сопоставляя (80.11) с уравнениями (78.14) и (78.15), видим, что в
нашем случае релятивистские уравнения дают простой результат:
- хс2р = Ru y к&Рёш (80.12)
или
Т?44 = -
ХСгр
Рассмотрим теперь выражение (77.1) для R^v. Учтем, что произведениями
символов Кристоффеля можно пренебречь из-за слабости поля, а производные
по времени равны нулю, поскольку мы рассматриваем статическое поле. Тогда
можно переписать
(80.12) так:
д га хс1 р дх° 44 " 2 •
Подставляя сюда (80.6), переписываем последнее выражение в нужном виде:
?-(?"\л- - (еи\4- д* (2<Л-*С*Р /ЯП 14'
Ш(^) + д^(-Т) + дг^(-2-) 180Л3'
Это уравнение уже полностью соответствует уравнению Пуассона (75.1) из
ньютоновой теории тяготения, в чем легко убедиться, если снова, как и в
(80.9), воспользоваться соотношением
JL = iiL j_ const
CJ 2 ,
и заменить x на величину
(80.14)
где k - обычная гравитационная постоянная, а с - скорость света.
Итак, мы показали, что ньютонова теория - это первое приближение к более
полной теории гравитации, следующей из общей теории относительности.
Более того, поскольку, как можно показать, ньютонова теория является
чрезвычайно точны?.:
208
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
приближением для напряженностей полей, с которыми мы обычно сталкиваемся,
можно считать, что все хорошо изученные законы небесной механики
подтверждают и релятивистскую теорию гравитации.
§ 81. Единицы, используемые в релятивистских вычислениях
Соотношение (80.14) приписывает определенную величину константе у в
уравнениях Эйнштейна (78.3). Она выражается через обычную гравитационную
постоянную k и скорость света с. Следовательно, из этих уравнений можно
получить уже численные результаты, которые можно сравнить с результатами
наблюдений. Используя величины [44]*)
с -2,99796-1010 см/сек и 6 = 6,664-10~8 см5/г-сек2, (81.1)
получаем
х = = 2,073-10~48 сек2/см-г. (81.2)
Таким образом, численное значение к зависит, во-первых, от выбора системы
единиц (мы приняли систему СГС) и, во-вторых, от выбора размерности
компонент тензора энергии - импульса 7>v (которые заданы у нас в
галилеевых координатах матрицей
(37.8) и имеют размерность плотности энергии, а не плотности массы,
как это иногда принимается).
Однако выбором новой системы единиц мы можем достичь некоторых упрощений
в написании релятивистских уравнений и уничтожить всякий произвол в
выборе размерности T^v. Чтобы сделать это, можно сохранить сантиметры в
качестве единицы длины, но выбрать единицы времени и массы так, чтобы
скорость света в свободном пространстве с и гравитационная постоянная
превратились в единицы
с= 1 и 6= 1. (81.3)
При таком выборе единиц энергия и масса данной системы, в соответствии с
(27.4), имеют одну и ту же численную величину:
Е=т, (81.4)
так что обе отмеченные выше возможности выбора размерности 7>v ведут
