Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
шварцшильдовского линейного элемента, которые позволяют обнаружить
различие между релятивистской и ньютоновской теориями гравитации. Этими
следствиями мы теперь и займемся.
а) Движение перигелия. Первый из трех решающих для теории
относительности опытов связан с тем, что релятивистское уравнение (83.10)
отличается от аналогичного уравнения Ныотона (83.12) дополнительным
членом. Это приводит к орбитам планет с медленно вращающимся перигелием,
в отличие от совершенно замкнутых эллиптических орбит старой теории.
Подставив (83.11) в (83.10), продифференцировав по ф и положив для
простоты
и = 1 /л, (83.14)
получим в качестве релятивистского уравнения для орбитального движения
планет
0 + ы =-р-Н-Эта*. (83.15)
Это уравнение следует сравнить с аналогичным ньютоновским уравнением
d"u j /оо 1
ЗфН-"=А5-- (83.16)
Однако даже на поверхности Солнца член 2т/r приблизительно равен 410-6, а
на таких расстояниях, как расстояние до Земли, он еще меньше и равен
примерно 2-10~*. Следовательно, пространство вокруг Солнца достаточно
плоское, так что шварцшильдовские значения координат г, 0 и <р, задающие
положение планет, практически не будут отличаться от соответствующих
значений, найденных в пренебрежении пространственной кривизной.
Далее, соотношение между бесконечно малым собственным временем ds,
измеряемым на планете, и координатным временем dt должно определяться при
нашем выборе линейного элемента уравнением
ds* / 1 dr" , d0" " . dtp" , 2m\
dt* 2mjr dt* +r dt* +r sm 0dli + r )'
где второй член очень мал по сравнению с единицей, так, например, для
Земли ои приблизительно равен 3-10-8. Следовательно, при описании
движения планет можно не различать также и два вида времени.
Наше настоящее рассмотрение - конкретная иллюстрация того факта, что
отклонения компонент g^v от их галилеевых значений, очень малые с
метрической точки зрения, могут быть, однако, очень важными с
гравитационной точки зрения.
216
ГЛ. VI. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Поскольку дополнительный член Зти2 в правой части (83.15), как легко
видеть, используя (83.11), весьма мал по сравнению с m/h2, различие между
релятивистским и ньютоновским уравнениями очень незначительно.
Следовательно, за решение релятивистского уравнения (83.15) можно принять
в первом приближении хорошо известное решение ньютоновского уравнения
(83.16):
ы= -р-{1 + ecos(cp-со)}, (83.17)
где е - эксцентриситет орбиты, а со - долгота перигелия. Подставляя
это решение в (83.15), получаем в качестве удовлетво-
рительного второго приближения выражение
и= jl+ecos^cp-со- И5Т"ф)]* (83.18)
Из вида его сразу следует, что за время одного полного оборота планеты
долгота перигелия ее ньютоновского эллипса должна смещаться на величину
6со=^. (83.19)
Меркурий - единственная из планет Солнечной системы, для которой
предсказанное смещение оказывается настолько значительным, что его можно
с уверенностью измерить. Предсказанное смещение долготы перигелия для
Меркурия равно 42,9" за за 100 лет, а наблюдаемое смещение равняется
43,5" [61]. Соответствие результатов можно считать вполне
удовлетворительным.
б) Гравитационное отклонение света. Вторая из трех решающих проверок -
это отклонение света при прохождении его через гравитационное поле вблизи
Солнца.
Согласно общей теории относительности (см. § 74, д) траектории световых
лучей, как и свободных частиц, должны определяться уравнениями
геодезических линий с дополнительным условием ds = 0 для интервала.
Следовательно, если ввести это условие, наши предыдущие уравнения для
планетных орбит будут применимы и в случае распространения световых лучей
в поле притягивающей точечной частицы. Более того, из (83.11) видно, что
это дополнительное условие может быть просто учтено, если положить h- оо
в (-83.15); это дает уравнения для траектории световых лучей вблизи
притягивающей точечной частицы с массой пт.
^ -г и - Зти2 (83.20)
при
и=Мг. (83.21)
§ 83. ТРИ "РЕШАЮЩИХ ОПЫТА" ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
217
В отсутствие возмущающего члена 3ти2 решением (83.20) является прямая
линия
г cos ср=/?, (83.22)
которая проходит на расстоянии R от притягивающей точки. Подставив снова
(83.22) в (83.20), получим второе приближение:
rcoscp = R - (г cos2 ср f 2rsin2cp). (83.23)
Переходя к декартовым координатам, что возможно в прост-
ранстве, близком к евклидову, которое окружает Солнце, мы можем
переписать последнее выражение в виде
л- == R - л'2'.: 2?/~- - (83.24)
Для больших значений у это дает
x = R--~(±2y),
где верхний знак соответствует положительным у, нижний - отрицательным.
Следовательно, угол между асимптотическими направлениями лучей равен
0 = ^-. (83.25)
Лучи света, касающиеся солнечного диска, должны отклоняться согласно этой
формуле на угол в 1,75 угловой секунды. Это предсказание можно проверить,
определяя во время полного солнечного затмения видимое положение звезды,
свет которой проходит вблизи солнечного диска. Результаты наблюдений
прекрасно согласуются с теорией. Первая и очень точная проверка
