Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
величины, однако, являются тангенциальными компонентами ранее введенного
вектора (52.12):
Н* = Н
XD
Исследуя подобными методами уравнение поля (52.3), можно получить, что в
общем случае
Д Dn = ш, А Вп = A Et = А Н]
0.
(54.12)
Эти условия определяют наличие или отсутствие разрывов у нормальных или
тангенциальных компонент векторов при пересечении границы раздела двух
сред; они применимы также на границе раздела между веществом и свободным
пространством. В выражении для Е * и Н * в этом случае следует подставить
скорость вещества и.
в) Джоулево тепло. Рассмотрим изменение энергии малого элемента
вещества из-за воздействия электромагнитного поля. Очевидно, что это
изменение может происходить либо за счет механической работы, совершаемой
пондеромоторными силами, порожденными полем, либо за счет джоулевой
теплоты, образующейся внутри элемента из-за электромагнитного
воздействия.
124
ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Поэтому малое приращение энергии элемента объема бЕ можно выразить в виде
суммы проделанной работы бQ и выделенной теплоты 6W:
6?=6U7+6Q. (54.13)
Если же для простоты ограничиться случаем, когда работа производится лишь
при движении элемента как целого в поле сил, то джоулеву теплоту можно
выразить так:
6Q = -8W + 6E = - Fx6x - Fy&y-Fzbz + ^c бt, (54.14)
где Fx, Fy и F, - компоненты силы электромагнитного происхождения,
действующей на элемент.
Однако в соответствии с заключениями, сделанными в главе III, все силы,
какого бы они ни были происхождения, должны подчиняться одним и тем же
правилам преобразования, а следовательно, согласно (28.12) мы можем
объединить величины, фигурирующие в (54.14), следующим образом:
F - I ' х ^У ~ 5 dE \
J II - ' ------- --------- ----------------------
V I у\-иг1с2' >П-и2/с2' У\-и21сг' У1 - и 2/с2 с dt j'
(54.15)
где и - обычная скорость элемента. Этим самым мы образуем новый
ковариантный вектор в пространстве - времени с координатами
х' = х, х2 = у, x3 = z, x4-ct. (54,16)
Используя определение (54.14), можно теперь переписать формулу приращения
джоулевой теплоты в ковариантном виде:
бQ - j 1 - и2/с2 Ефбх". (54.17)
Однако в соответствии с правилами тензорного анализа Енбх"1 должен быть
скалярным инвариантом, т. е. одним и тем же во всех системах координат,
так что можно принять формулу
6Q = у\ - uVc2 6Q0 (54.18)
в качестве общего выражения, связывающего приращение теплоты бQ и
скорость элемента объема вещества и, измеренные в любой заданной системе
координат, с приращением теплоты 6Qo, измеренным в собственных
координатах локальным наблюдателем. Ценность этого результата станет
ясной лишь ниже, когда мы убедимся в соответствии полученного выражения
§ 54. ПРИМЕНЕНИЯ МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
125
с правилами преобразования для теплоты, которые будут найдены при
построении релятивистской термодинамики.
г) Электромагнитная энергия и импульс. С помощью уравнений поля легко
получить выражения, позволяющие находить скорость изменения энергии и
импульса внутри поверхности, лежащей в пустом пространстве и окружающей
тела, на которые действуют электромагнитные силы.
Умножим скалярно уравнение (52.3) на Н, а уравнение (52.4) на Е. Вычитая
из первого выражения второе, получаем
Е • + Н • ~ + Е • J + с (Н • rot Е - Е • rot Н) = 0. (54.19)
Проинтегрируем это выражение по объему, заключенному внутри неподвижной
поверхности, окружающей рассматриваемую систему. С помощью известных
соотношений векторного анализа (уравнение (17), Приложение II) приходим к
соотношению
J (Е • 4г + Н • 4г + Е • J) dv = - [? X Щпдо. (54.20)
Здесь в правой части интегрирование производится по поверхности,
окружающей рассматриваемый объем, а индекс п означает проекцию данного
вектора на внешнюю нормаль.
Для объема, не содержащего вещества, (54.20) превращается, очевидно, в
обычное соотношение:
J ~fr[^~Y^~)dv = ~Iе х H^do, (54.21)
где в левой части стоит известное выражение для скорости увеличения
энергии, и поэтому правая часть должна характеризовать поток энергии
через границу.
Возвращаясь к более общему уравнению (54.20), можно сделать вывод, что
левая часть в нем должна давать скорость увеличения энергии и при наличии
вещества, так как граница, по предположению, располагается в свободном
пространстве, окружающем это вещество. Уравнение (54.20) можно,
следовательно, использовать для вычисления скорости, с которой изменяется
энергия внутри фиксированной поверхности, находящейся в свободном
пространстве, окружающем материальную систему. Для этого интегрировать
надо по объему, заключенному внутри поверхности. Это уравнение аналогично
уравнению (42.3) из электронной теории, однако оно не дает однозначного
выражения для плотности электромагнитной энергии и импульса внутри
вещества.
126 ГЛ. IV. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Аналогичным образом из уравнений поля можно получить выражения для
скорости изменения импульса вещества, находящегося внутри замкнутой
поверхности,- именно, умножая уравнение (52.1) на Е и прибавляя к нему
