Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
в усилиях. В качестве координат перемещений взять хх, х2 и х3, считать,
что тх = т2 = = т3 = т, 1Х= /2 = 13 = I.
Ответ: р\, ,, 3 = 0,416g//; 2,29g/l; 6,29g/l.
4.2.8. На рис. А.4.2.8 показан каркас трехэтажного дома с абсолютно
жесткими балками и гибкими стойками. Дано: тх= т2= т3= т, hx = Л2 = h3 =
= Л, Е1Х = 3?7, Е12 = 2EI, EI3 = EI. Используя в качестве координат
перемещений горизонтальные перемещения хх, х2 и х3, определить
собственные значения и собственные векторы с помощью уравнений в
перемещениях.
Ответ: X] 2 3 = 14,4а; 2,62а; 0,954а {а = mft3/(144?7)].
II
-ф
-ф
-Ф:
EI,
nii
EL
EI,
77777
EL
EL
EI,
/7777
Рис. A.4.2.7
Рис. A.4.2.6
4.2.9. Для подвешенной на пружинах массы (рис. А.4.2.9) в качестве
координат перемещений используются ортогональные смещения хх, ух и гх.
Пружины установлены в направлениях, определяемых следующими единичными
векторами: ej = 0,8i - 0,6], е2 = 0,6j + 0,8k и е3 = 0,6] - 0,8k (где i,
] и к - единичные
256
векторы в направлениях соответственно х, у иг). Используя уравнения
движения в усилиях, определить собственные значения и собственные
векторы, приняв, что жесткость всех пружин одинакова.
Ответ: р\у 2< з = 0,332й/т; 1,28km-, 1,39klm.
4.2.10. Показанная на рис. А.4.2.10 плоская рама состоит из двух
призматических стержней с жесткостью EI при изгибе. Она неподвижно
закреплена в точке А, а в точках В и D на ней закреплены сосредоточенные
массы. В качестве координат перемещения берутся малые перемещения хг, ;д
и у2. Принимая, что тг = = т2 = т и /j = 12 - I, с помощью уравнений
движения в перемещениях определить собственные значения и собственные
векторы.
Ответ: Л1_ а> 3 = 74,7а; 6,99а; 0,307а [а = тР1(А8Е1)].
Рис. А.4.2,9
Рис. А.4.2,10
4.2.11. Предположим, что балка, на которой закреплены три
сосредоточенные массы (рис. А.4.2.11), может свободно перемещаться только
в направлении оси у. Приняв, что тг= т2= ms= т и /j = l2= I, найти
собственные значения и собственные векторы с помощью уравнений движения в
усилиях. Балка является призматической и ее жесткость при изгибе равна
EI.
Ответ: рд 2, 3 = 0; 0; 9EI/(ml3).
Рис. А.4.2.11
4.2.12. На рис. А.4.2.12 показаны два абсолютно жестких стержня,
соединенных в точке В с помощью шарнира. Предполагается, что 12 = 12 = /,
k2 = = k2 = = k, яд = m2 - m и что массы равномерно распределены по длине
стержней. В качестве координат перемещений используются малое перемещение
у1
9 Тимошенко С. П. и др.
257
точки В и малые повороты 0t и 02 стержней вокруг точки В. С помощью
уравнений движения в усилиях определить собственные значения и
собственные векторы этой системы.
Ответ: р\, ?, з = (3 - У^З) k!m\ 3k/m; (3 уД) k/m.
4.3. ГЛАВНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Для того чтобы выявить определенные внутренние связи между
главными формами колебаний, рассмотрим г'-ю и /-ю формы в за-
даче на собственные значения для уравнений движения в усилиях [см.
уравнение (4.17)]
SXM(- = р?МХш; (а)
SXM/ = р) МХм/. (б
Умножением слева первого из этих уравнений на матрицу Хм/ и умножением
справа на Хмг транспонированного второго уравнения получаем
Xm/SXm/= p?Xm/MXmi! (в)
Xm/SXm/ = p?Xm/MXmj • (г)
Поскольку левые части уравнений (в) и (г) равны, то вычитанием второго
уравнения из первого придем к соотношению
{р) - />/) Хтм/МХш = 0. (д)
С другой стороны, если обе части уравнения (в) разделить
на р\
и обе части уравнения (г) на р), то получим, что правые части этих
уравнений равны. Вычитая одно уравнение из другого, найдем
(тг ~ jr) Xtm/SMM(- = 0. (е)
Для того чтобы удовлетворялись соотношения (д) и (е) при i Ф j и
различных собственных значениях (р\ Ф р}), должны выполняться следующие
условия:
Хтм/МХш = ХтшМХм/ = 0; (4.23)
XTM/SXMl- = XTM,-SXM/ = 0. (4.24)
Эти равенства выражают условия ортогональности главных форм колебаний. Из
соотношения (4.23) видно, что собственные векторы
258
ортогональны с матрицей М, а соотношение (4.24) показывает, что они
ортогональны с матрицей S.
В случае, когда i = /, из соотношений (д) и (е) следует
XLMXMl = yWn; (4.25)
XLSXMl- = Srt, (4.26)
где Mri и 5Г; - постоянные, зависящие от того, как нормирован собственный
вектор Хш. Для удобства представления, расположим все собственные векторы
в виде столбцов матрицы пХп форм колебаний вида
Хм = [XmiX
мгХмз • • • Х"п]. (4.27)
Затем уравнения (4.23) и (4.25) можно объединить общим выражением вида
XmSXm = Мг, (4.28)
где Мг - диагональная матрица, которую будем рассматривать
как главную матрицу масс. Аналогично уравнения (4.24) и
(4.26)
можно объединить и представить в виде
XTMSXM = Sr, (4.29)
где Sr - диагональная, отличная от Мг матрица, которую будем называть
главной матрицей податливостей. Преобразования (4.28) и (4.29) описывают
процесс диагонализации матриц М и S. Если окажется, что одна из них имеет
диагональное строение, то преобразование (4.28) или (4.29) приводит к
простому умножению всех диагональных элементов на одно и то же число.
Для того чтобы продемонстрировать преимущества процесса диагонализации,
