Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
кривые зависимости амплитуды от частоты имели равный нулю тангенс угла
наклона касательной в точках S или Т. На рис. 3.22 представлены кривые
подобного рода, одна с максимальным значением в точке S, другая - в точке
Т. Эти кривые построены для случая при Р = V4. Можно видеть, что
максимальные значения ординат этих кривых очень незначительно отличаются
от ординат точек S я Т. Следовательно, можно утверждать, что выражение
(ч) дает значение амплитуды вынужденного колебания массы т4 с достаточно
хорошей точностью, если величина р выбрана так, как объяснялось выше.
Теперь рассмотрим, как надо подбирать демпфирующие характеристики
поглотителя колебаний, чтобы резонансные кривые имели максимальные
значения в точках S и Т. Начнем с того, что представим выражение (л) в
виде (р). Решив далее получившееся соотношение относительно р2, получим
ip = N Q (*mi/Ac,t)2 , ч
г D /V . / Л V2 - /VI '
242
X"\Ut
Рис. 3.22
Как только выбрана масса т2 поглотителя колебаний, становится известной
величина Р и тогда из формулы (х) находим б. Затем по формуле (ц) можно
подсчитать значения yf, , соответствующие точкам S и Т, и далее из
выражения (ч) находим хм1/Аст. Если все найденные значения подставить в
выражение (ш), придем к неопределенному соотношению вида 0/0 для р2,
поскольку положения точек 5 и Г не зависят от pi. Однако давайте
рассмотрим точку, очень близко расположенную к точке 5 на графике
зависимости амплитуды от частоты. Если максимум находится в точке S,
значение хш/Лст не будет изменяться при незначительном смещении абсциссы
точки. Не будут изменяться также значения Р и 8, и только корень y'j
немного изменит свое значение. Благодаря такому изменению выражение (ш)
дает определенное значение величины pi2, которое требуется для того,
чтобы сделать горизонтальной касательную к кривой в точке S. Аналогичным
образом можно получить значение pi2, при котором касательная в точке Т
будет горизонтальной.
Жесткость пружины поглотителя колебаний определяем по формуле (х).
Максимальное напряжение в пружине, возникающее при колебаниях, можно
найти, если известно максимальное относительное перемещение хотн= (х2 -
Xi)max- Для точного вычисления этой величины требуется проводить сложное
исследование движения обеих масс ш1 и т2 с учетом разности их фаз.
Удовлетворительное приближение для хотп можно получить, предположив, что
колебание основной массы отстает на я/2 рад от переменной нагрузки Р cos
at. При таком предположении работа, выполняемая за один цикл, равна яРхт
[см. выражение (в) в п. 1.10]. Рассеивание энергии за один цикл
колебания, обусловленное силами демпфирования, пропорциональными
скорости, равно я с (хотн)2 (о[см. выражение (д) в п. 1.10]. Приравнивая
рассеянную энергию работе, выполненной за один цикл, получим
4н=-^- ("о
Используя введенные безразмерные параметры, формулу (щ) можно представить
в виде
ji
Хъ,
1
А/т " Аст 2|*тР • (Э)
Поскольку (х и Р обычно малы, то, как следует из этой формулы,
относительное перемещение хотн будет значительно больше, чем перемещение
хм1 массы тх.
2-13
Глава 4
СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
В данной главе концепции, введенные в гл. 3 для систем с двумя степенями
свободы, будут распространены на системы со многими степенями свободы. В
эту категорию будут включены Есе системы, имеющие более одной степени
свободы, но в то же время число степеней свободы не должно быть
бесконечным. Конфигурация подобной колебательной системы определяется
конечным числом координат перемещений. Если имеется п степеней свободы,
соответствующих элементам массы, для описания движения этой системы
требуется п дифференциальных уравнений.
В гл. 3 были рассмотрены свободные колебания систем с двумя степенями
свободы, что не представляло особых затруднений за исключением случая
колебаний с демпфированием. Дополнительные трудности возникают в системах
со многими степенями свободы, поскольку с ростом числа степеней свободы
быстро растет число членов уравнений. Разумеется, матричная формулировка
оказывается очень эффективным средством при работе с большим числом
членов уравнений. Однако более важным обстоятельством является то, что
системы, подвергаемые произвольным возмущениям, исключительно трудно
исследовать в исходных координатах, особенно в случае колебаний с
демпфированием. Этих трудностей можно избежать, используя более
подходящую систему координат.
Если для системы со многими степенями свободы в качестве обобщенных
координат использовать главные формы колебаний, уравнения движения без
демпфирования становятся несвязанными. В этих координатах каждое
уравнение можно решать как уравнение, записанное для системы только с
одной степенью свободы. Этот подход, известный как метод нормальных форм
при динамических исследованиях, обсуждается в данной главе и применяется
к задачам, представляющим общий интерес. Сначала рассматриваются системы
без демпфирования, а в последних частях обсуждаются специальные вопросы,
