Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
247
При разложении определителя (4.8) получаем полином степени п, которому
соответствуют корни ..., Xh ..., кп. В дан-
ном случае эти корни представляют собой собственные значения, а
собственные векторы можно определить, подставляя эти значения в уравнения
(4.6). С другой стороны, в качестве одного из таких собственных векторов
можно взять в произвольном масштабе произвольный столбец матрицы V)
алгебраических дополнений.
Из обсуждений, приведенных в гл. 3, видно, что в соотношении (4.3)
матрицу жесткости S можно заменить либо дополнить матрицей G сил тяжести
[см. выражение (3.10)]. Аналогично в соотношении (4.7) матрицу
податливости F можно заменить матрицей псевдоподатливости, отражающей
влияние силы тяжести (см. пример 3 в п. 3.3). В любом случае расчеты
значительно упростятся, если матрица М будет диагональной, а не
произвольного вида. Теперь проиллюстрируем определение собственных частот
и форм колебаний на отдельных примерах систем со многими степенями
свободы.
Пример 1. На рис. 4.1, а показана система, состоящая из трех масс,
соединенных друг с другом и с основанием тремя пружинами. Движение этой
системы с тремя степенями свободы определяется координатами перемещений
дц, х2~н х3. Пусть для простоты имеем тг = щ = т3= т и k1= k2= kg =
k*Используя уравнения в усилиях, определить характеристические значения и
главные формы колебаний.
248
т1 0 0 ~ 1 0 0 "
0 т2 0 - т 0 1 0
0 0 т3 0 0 1
Решение. Для рассматриваемой системы матрица масс является диагональной:
М = 0 т.2 0 ¦= т 0 1 0 (г)
(Д)
Используя эту матрицу, запишем характеристическую матрицу в соответствии
с соотношением (4.3):
а матрица жесткости имеет вид
k\ + h 1 ts О 1 "2-1 0"
-k-г кг + к3 -к3 = k - 1 2 -1
0 1 0 -1 1
Нг
2k-
-р\т
О
О
-k
2k--p\m -k -k k - p^m
Полагая определитель матрицы Нг равным нулю [см. уравнение (4.4)], после
при ведения подобных членов получаем следующее характеристическое
уравнение:
4)")! + еШ!М) + (тГ'
0.
(е)
(ж)
Корни этого кубического уравнения можно определить методом
последовательного приближения (проб и ошибок), откуда имеем
р\ = 0,198 - 1 т
р1
1,555 -
р\ == 3,247 - 6 т
(з)
Для того чтобы найти форму колебаний, соответствующую наименьшему
собственному значению, подставим значение р\ в уравнения (4.2) и выразим
оттуда *M2,i и хмз>1 через хМ11, тогда получим
¦*м 2,1 = 1,802хм х; хм 3,1 = 2,247хм i, i. (и)
Поступая аналогичным образом, из уравнений (4.2) путем подстановки
значений р'1 и pi найдем следующие решения:
*м г, 2 = 0,445дгм 1, 2; *м з, 2 = 0,802хм i, 2; (к)
хм 2, з = -1 >247хм !, 3; хм 3, з = 0,555хм х, 3. (л)
С другой стороны, присоединенная матрица Н? в соответствии с выражением
(е) имеет вид
(2k - р]т( (k - - k2 k(k - pjm( k2
k(k - p\m) (2k - pfm) (k - p?m) k (2k - p'jm) (M).
k2 k {2k - pjm( (2k - pjmy - k-
Подставляя в выражение (м) найденное значение р2, получим
0,445 0,802 1,000
Н? = k2 0,802 1,445 1,802
1,000 1,802 2,247
Третий столбец этой матрицы при делении на k2 дает компоненты первого
собственного вектора, приведенные к амплитуде перемещений первой массы.
Таким образом, имеем
Хмх= {1,000; 1,802; 2,247), (н)
249
Н?
что совпадает с решениями (и). Разумеется, для получения этих результатов
требуется определять только один столбец присоединенной матрицы,
поскольку все столбцы пропорциональны Хм1.
В подобном же духе путем подстановки значении р? и р\ в третий столбец
выражения (м) для матрицы Н? определяются собственные Еекторы Хм2 и Хмз,
которые имеют вид
ХД12
Хмз
! ,000;
,000;
0,445; -0,805) - 1,247; 0,555),
(о)
(п)
совпадающий с еидом выражений (к) и (л). Три главные формы колебаний,
описываемые выражениями (н), (о) и (п), представлены значениями ординат
на рис. 4.1, б виг соответственно.
Предположим теперь, что жесткость первой пружины на рис. 4.1, а равна
нулю. В этом случае система будет свободно передавать и движение как
жесткого тела, и колебания. Коэффициент жесткости 5П изменит свое
значение с 2k на k, а соответствующий элемент характеристической матрицы
примет вид #jn= = k - р\т. Соответственно упростится характеристическое
уравнение, которое в данном случае может быть разложено на простейшие
множители:
к т
Pi [Р.
Рг
3k
т
= о,
(р)
откуда получаем
= 0,
к
т
Pi
3 к т
(с)
где разный нулю корень соответствует форме движения как аосолютно
жесткого тела.
Третий столбец в выражении (м) для присоединенной матрицы К" принимает
вид
Н?.з =
к (к - Р]щ)
(k - р\т) (2к - Р\т) - k-
(>)
Последовательной подстановкой собственных значений для этой
полуопределенной системы в выражение (т) получаем следующие выражения для
собственных векторов:
ХМ1 =
.. ^.. 1 1 "
1 1 , Хмг = 0 , Хмз = -2
-1 1
(У)
Из рассмотрения этих векторов легко устанавливаются главные формы
колебаний этой системы.
Пример 2. Три сосредоточенные массы прикреплены к предварительно
растянутой нити, как показано на рис. 4.2, а. Предполагается, что
растягивающая сила Т в тросе достаточно велика, поэтому при малых
