Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(Kh = (yi)Axj)z¦ (е)
10 Тимошенко С. П. н др. 289
Затем вектор (Y)2 масштабируем путем деления на произвольную постоянную
Ь2, что дает третье приближение для вектора
(Х)в = (Y)a/6a.
(ж)
Подобную процедуру повторяем до тех пор, пока собственные значения и
соответствующий им собственный вектор не будут определены с желаемой
степенью точности.
На k-м шаге итерации описанным выше процедурам соответствуют следующие
рекуррентные уравнения:
где bh - произвольно выбранное число. Ниже будет показано, что в
результате повторяющейся процедуры вычислений по этим уравнениям процесс
сходится к численно наибольшим собственному значению и собственному
вектору. Поэтому для ускорения сходимости первое приближение для вектора
(X)! следует выбирать таким, чтобы оно численно соответствовало
наибольшему собственному значению.
Для того чтобы доказать, что процесс итераций сходится к наибольшему
собственному значению, разложим первое приближение для вектора (Х)х по
действительным значениям собственных векторов системы
где аъ а2, .... аи ..., ап - масштабирующие множители. Возможность
подобного представления зависит от существования линейно независимых
(хотя и неизвестных) собственных векторов, каждый из которых
удовлетворяет рассматриваемым колеблющимся системам. Здесь также
предполагается, что соответствующие собственные значения располагаются в
порядке убывания, при этом имеется только одно наибольшее собственное
значение
Подставляя представление (з) в соотношение (а) и используя уравнение
(4.99), можно получить следующее разложение для вектора (Y)x по точным
значениям собственных векторов:
(Y)fc = A(X)fc;
(^i)ft = {У
(X)ft+1 = (Y)ft/&ft>
(4.100)
(4.101)
(4.102)
п
(Х)х- 2
(з)
1=1
••• ••• S&к¦
(и)
п
п
(Y)x = а;АХлП = S й;^гХлп-
(К)
(л)
290
Подставляя представление (к) в выражение (л) и вновь используя уравнение
(4.99), найдем выражение
На k-м шаге итерации получаем следующее выражение для вектора:
в которое собственное значение Xt входит в k-й степени. Вынося за скобку
общий множитель Х\ и выделяя отдельно слагаемое, запишем содержащее ХМ1:
В соответствии с выбранным порядком расположения собственных значений
[см. выражение (и)] можно заключить, что величина (Xi/X^n стремится к
нулю при увеличении номера k, поэтому можно записать
Из этого выражения видно, что k-e приближение вектора стремится к
собственному вектору ХМ1, поскольку остальные величины в этом выражении
являются постоянными. Если в правой части выражения (о) выделить
множитель получим
Таким образом, k-e приближение для^,-, задаваемое выражением (4.101), как
это видно из выражения (о), принимает значения, близкие к А-!. Благодаря
указанному условию сходимости итерационного процесса численно наибольшее
собственное значение ^ называют основной собственной частотой, а
соответствующий этому значению вектор ХМ1 - основным собственным
вектором.
Воспользуемся теперь итерационным методом и определим собственное
значение и собственный вектор, соответствующие основной форме колебаний
системы с несколькими степенями свободы. Поскольку при использовании
этого метода решение сходится к наибольшему собственному значению, здесь
следует применять уравнения движения в перемещениях, где наибольшее
собственное значение равно обратной величине квадрата наименьшей круговой
частоты. Таким образом, из уравнения (4.9) имеем
П
П
(Y)*= Е aiXiA\Mi/bi = Е aMXmlbv
(м)
П
00й= Е a{Xki\Milb\b2 ... bk. 1,
(н)
П
(Y)ft = ?4 ЩХш + Е ai (^iAl)*XjMi /6162 ... bk-\.
(Y)fc *=* h>iaiXMi/bib2 ... bk-1.
(°)
(\)h^Xl{Xkl-lal\mlblb2 ... ft*-i) = MX)*.
(n)
FMXmi =
(4.103)
где
(4.104)
10*
291
Уравнение (4.103) представляет стандартную форму задачи на собственные
значения [см. уравнение (4.99)]. В результате видим, что матрица
А = FM (4.105)
является несимметричной, хотя здесь М - диагональная матрица с
одинаковыми элементами на диагонали. Однако указанная потеря симметрии не
существенна в том случае, когда основная форма колебаний определяется с
помощью метода итераций.
В качестве числового примера рассмотрим применение уравнений движения в
перемещениях к трехмассовой системе (см. рис. 4.1, а), которая уже
рассматривалась ранее с помощью уравнений движения в усилиях (см. пример
1 в п. 4.2). При kx = k2 = kз = fe и m1 = m2 = m3 = m матрицы
податливости масс для этой системы имеют вид
*1 1 Г *1 0 0'
1 2 2 ; М = т 0 1 0
_1 2 3. 0 0 1.
где, как и выше, имеем б = \!k. В результате матрица А согласно выражению
(4.105) принимает вид
1
Г
2 2 2 3
(Р)
В качестве достаточно хорошего приближения для основной формы колебаний
можно было бы взять суммы строк мартицы А. В результате получается вектор
перемещений, обусловленных статически приложенными силами, которые, как и
в методе Релея (см. п. 1.14), пропорциональны массам. Непрямой способ
применения того же самого приема состоит в задании представления (X)j =
{1; 1; 1} в качестве первого приближения для искомого вектора. Умножая
