Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Определить закон установившихся движений ^перекрытия третьего этажа
относительно основания, используя уравнения движения в усилиях.
Ответ: х* = -a sin (оt (0,334Р2/р! + 0,314Эа/рЗ 0,352Э3/р§).
4.6.9. Рассмотреть подвешенную на|пружинах массу из задачи 4.2.9,
предположив, что точка присоединения первой (нижней) пружины к основанию
внезапно перемещается на расстояние d в направлении оси х. Определить
закон движения массы, используя уравнение движения в усилиях.
Ответ: х1 = d (1 - 0,708 cos pxt - 0,292 cos p3t).
4.6.10. Пусть точка А рамы из задачи 4.2.10 совершает малые гармонические
угловые перемещения, описываемые функцией 0,4 = ф cos (at относительно
оси, перпендикулярной плоскости ху. Найти закон установившегося движения
прикрепленных к раме масс, используя уравнения движения в перемещениях.
Ответ: хг = фI cos (at (1,242(Vpf - 0,248$Jpl -J- 0,007P3/p|).
4.6.11. Предположим, что для центральной массы системы, рассмотренной в
задаче 4.2.11, задано ускорение в виде параболической функции у2 = ахР
lt\, где аг - значение ускорения в момент времени tx. Определить закон
движения масс
и т3 относительно массы т2, используя уравнения движения в усилиях.
Ответ: у\ = у3 = -Щ [t- - 2(1 -cos pt) р2]/(рЩ), где р2 = 3Elll3m.
4.6.12. Предположим, что точка крепления нижнего конца расположенной под
точкой С пружины в системе из задачи 4.2.12 совершает гармонические
перемещения в направлении оси у по закону г/0п= d sin (at. Используя
уравнения движения в перемещениях, найти закон установившегося движения
при таком виде возмущения, если /= 0,91 м.
Ответ: у{ = d sin (at (0,096P]/p? - 0,096|33/р§).
4.7. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
Обсужденный в п. 4.2 метод определения собственных частот колеблющихся
систем обычно используется только в тех случаях, когда найти корни
характеристического уравнения не представляет труда. Здесь также возможно
применение различных численных методов *, но они обычно эффективнее в
случае систем с большим числом'"степеней свободы. Обсуждаемый в данном
параграфе подход иногда называют методом степенных рядов или методом Сто-
долы-Вианелло, но, как правило, его именуют просто итерационным методом.
Этот подход удобно применять для работы с матрицами невысокого порядка,
используя при расчетах логарифмическую линейку или настольный
калькулятор, но решения больших задач следует программировать, чтобы
проводить вычисления на цифровых ЭВМ.
Итерационный метод наиболее полезен при решении таких задач, в которых
требуется определять только низшие частоты и соответствующие им формы
колебаний. Если же требуется находить все собственные значения и
собственные векторы колеблющейся системы,
* Wilkinson J. Н. The algebraic eigenvalue problem. Oxford, London:
Clarendon Press, 1965. 662 p.
288
предпочтительнее использовать иные численные подходы, поскольку они
требуют меньше арифметических операций. Кроме того, итерационный процесс
будет сходиться Хбыстрее, если можно заранее установить форму колебаний.
Обычно достаточно хорошо удается задать основную форму колебаний, но для
более высоких форм это сделать гораздо сложнее. Тем не менее, точность, с
которой удается предсказать формы колебаний, влияет только на скорость
сходимости итерационного процесса, но не на конечный результат.
Для того чтобы построить итерационный процесс, не связывая его с
конкретным приложением к колебаниям, начнем с рассмотрения задачи на
собственные значения, представленной в следующей стандартной форме:
А Хм4 = ЯгХм*. (4.99)
совпадающей с уравнением (э) в п. 4.2. Первое приближение для одного из
собственных значений^ можно найти, подставив пробный собственный вектор
(X)! в "левую и правую части уравнения (4.99) и решив результирующее
соотношение по Я/. Для этого обозначим через вектор (Y)x стоящее в левой
части соотношения произведение матрицы А и выбранного пробного значения
собственного вектора-столбца (ХД:
(Y)i = А(ХД. (а)
Если вектор (ХД не является точным значением собственного вектора, то
после подстановки его в уравнение (4.99) последнее будет удовлетворяться
только приближенно:
(YK^MX),. (б)
Первое приближение для собственного значения (ДД можно получить, разделив
любую из п компонент вектора (УД на соответствующую компоненту вектора
(ХД. Отметим, что если бы удалось установить точное значение собственного
вектора, то все подобные отношения были бы равны между собой. Обозначим
все возможные значения, получающиеся при таком делении, в виде
(K)i = (yj)i/(xj)i, (в)
где 1 < / с п.
Прежде чем перейти ко второму шагу итерации, обычно проводят нормирование
вектора (УД тем или иным способом, например, разделив все его компоненты
на первую или последнюю компоненту. В общем случае разделим вектор (УД на
произвольную постоянную и результат возьмем в качестве второго
приближения для вектора
(X)2 = (Y)1a. (г)
Этот вектор умножаем слева на матрицу А, что дает вектор
(УД = А(ХД. (д)
Далее вычисляем второе приближение для собственного значения
