Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Хп (а bpi) Хп -f- р]хп - qn, t=l, 2, 3, ..., п. (в)
Чтобы сделать это уравнение аналогичным уравнению для системы с одной
степенью свободы [см. уравнение (1.61)1, введем обозначение
Си = 2nt = a -f bp], Y; = Ht/pi, (г)
где Сп = 2nt - постоянная демпфирования по i-й форме, -
соответствующее значение коэффициента демпфирования. Под-
ставляя первое из этих обозначений в уравнение (в), получим
+ +p\xvl = qTl, г=1, 2, 3, ...,п. (4.124)
* См. кн. Rayleigh J. W. S. The theory of sound, pp. 130-132,
цитированную в п. 1,4.
303
Каждое из этих п уравнений является несвязанным со всеми остальными.
Поэтому динамическое перемещение, соответствующее г-й форме колебаний,
можно найти точно так же, как это делалось для системы с одной степенью
свободы с вязким демпфированием, i Используя обозначения (г), можно
выразить коэффициент демпфирования у/ через постоянные а и Ь:
а + Ьр1,
Т' = -2?г- (4Л25)
Это выражение полезно при изучении влияния на демпфирование по
соответствующим формам изменения постоянных а и b из выражения (4.121).
Полагая, например, постоянную а равной*'нулю"при b Ф 0, получаем, что
матрица демпфирования пропорциональна матрице жесткости. Подобный тип
демпфирования (иногда называют относительным, поскольку последнее
связывают с относительными координатами скоростей перемещений. Таким
образом, при условии а = О выражение (4.125) имеет вид
7г - Pi (д)
и означает, что коэффициент демпфирования по каждой главной форме
пропорционален круговой частоте этой формы колебаний без демпфирования.
Следовательно, динамические перемещения, соответствующие высшим формам
колебаний системы, будут демпфироваться сильнее и поэтому быстрее
затухать, чем перемещения, соответствующие низшим формам колебаний.
С другой стороны, полагая постоянную b равной нулю при а Ф О, получаем,
что матрица демпфирования пропорциональна матрице масс. Такой тип
демпфирования иногда называют абсолютным, поскольку оно связано с
абсолютными координатами скоростей перемещений. В этом случае выражение
(4.125) упрощается и принимает вид
7г = ~тг Pi- (е)
Оно означает, что коэффициент демпфирования по каждой форме колебаний
обратно пропорционален частоте колебаний без демпфирования. При таком
условии низшие формы колебаний системы будут подавляться сильнее, чем
высшие формы.
Как было обнаружено *, условие, представляемое выражением (4.121),
является достаточным, но не будет необходимым условием существования
главных форм колебаний в демпфированных системах. Существенным условием,
вытекающим из наличия главных форм колебаний, является то, что
преобразование матрицы демпфирования к диагональному виду также приводит
к несвязанной системе уравнений движения. Это условие является менее
ограничи-
* Caughey Т. К- Classical normal modes in damped linear dynamic systems.
- Journal Appl. Mech. Trans. ASME, 1960, v. 27, N. 2, pp. 269-271; то же,
1965, v. 32, N. 3, pp. 583-588.
304
тельным, чем описываемое выражением (4.121), и представляет больше
возможностей.
Однако в самом общем случае коэффициенты влияния демпфирования таковы,
что матрица демпфирования не может быть приведена к диагональному виду
одновременно с матрицами масс и жесткостей. Как было показано в п. 3.7,
собственные формы колебаний системы имеют такие соотношения между собой,
которые трудно поддаются анализу. Собственные значения для подобного рода
систем являются либо действительными и отрицательными, либо комплексными
с отрицательными действительными частями чисел. Комплексные собственные
значения являются комплексно сопряженными числами [см. выражения (3.42а)
и (3.42в) J, а соответствующие им собственные векторы также являются
комплексно сопряженными. Для исследования систем со значительным
демпфированием, где обусловленные влиянием сил сопротивления мнимые части
имеют большую величину, можно воспользоваться подходом, описанным в
статье К. Фосса *. Этот подход состоит в преобразовании системы п
уравнений движения второго порядка в систему 2я несвязанных
уравненийТпервого порядка.
Нет необходимости исследовать слабо демпфированные системы таким сложным
способом, особенно с учетом того обстоятельства, что еще недостаточно
известна сама природа явления демпфирования в физических системах.
Простейшим является подход, основанный на предположении, что уравнения
движения приводятся к несвязанному виду с помощью матрицы форм колебаний,
полученной для системы без демпфирования. Другими словами, матрица Хм
считается ортогональной^не только матрицам М и S [см. выражения (4.23) и
(4.24)], но также и^матрице С:
Хтм/СХш = ХшСХп/ = 0, сф/. (4.126)
Это допущение означает, что все внедиагональные элементы матрицы,
получающейся при преобразовании вида Сг = ХмСХм, малы и ими можно
пренебречь. Кроме того, удобнее получать значения коэффициентов
демпфирования уг для собственных форм колебаний из экспериментов, чем
вычислять коэффициенты влияния демпфирования для получения матрицы С.
