Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Mat. Nat., Ser. 6, 18 (1933), 203-207.
[7] de Finetti B., Sulla legge di distribuzione dei valori in una
successione di numeri aleatori equivalenti, Atti R. Acad. Naz. Lincei
Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., Ser. 6, 18 (1933), 279-284.
[8] d e Finetti B., La prevision: ses lois logiques, ses sources
subjectives, Ann. Inst. H. Poincare, 7 (1937), 1-68.
[9] F г ё с h e t М., Les probabilites associees a un systeme
d'evenements compatibles et dependants, II, Actualites Scientifiques et
Industrielles, № 942, Paris, 1943. .
[10] Haag J., Sur un problerne general de probabilites et ses diverses
applications, Proceedings of the International Congress of
Mathematicians, Toronto,
n
(5)
(6)
ЛИТЕРАТУРА
1928, pp. 659-674,
212
Дополнение
[11] Hewitt Е., Savage L. J., Symmetric measures on Cartesian products,
Trans. Amer. Math. Soc., 80 (1955), 470-501.
[12] Хинчин А. Я-, Sur les classes d'evenements equivalents, Матем. сб.,
39 (1932), 40-43.
[13] Хинчин А. Я., О классах эквивалентных событий, ДАН СССР, 85 (1952),
713-714.
[14] Лоэв М., Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962.
[15] Те i с he г Н., On the mixture of distributions, Ann. Math.
Statist., 31 (1960), 55-73.
5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ПЕРЕСТАВЛЯЕМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Случайный процесс (и), 0 ^ и ^ Т} называется процессом с переставляемыми
приращениями, если для всех п = 2, 3, ... и любого конечного t е (0, Г]
приращения
(г = 1'2 я) <"
являются переставляемыми случайными величинами.
Если математическое ожидание величины ?(ы) существует, то при 0 ^ и ^ Т
Е (w)} = ри, (2)
где р -константа (возможно, равная оо).
Бюльман [1] доказал, что случайный процесс {?("), 0^и<оо) с
переставляемыми приращениями можно реализовать как случайный процесс с
условно независимыми и стационарными приращениями.
Теорема 1. Пусть (Q, зФ, Р) - вероятностное пространство, (и), 0 ^ и <
оо) - случайный процесс с переставляемыми приращениями. Тогда существует
такая нетривиальная а-подалгебра $ а что процесс {? (и), 0 ^ и < оо)
имеет условно независимые и стационарные приращения относительно Зй.
Отсюда вытекает сильный закон больших чисел для {?(ы), 0^ц<оо).
Теорема 2. Если процесс {|(и), 0^ы<оо) сепарабелен и
Е{И(1)1}<°о, то
Нт-ф- = Е{|(1)|Я} (3)
t-> оо *
с вероятностью 1.
Если G (х) - функция распределения случайной величины Е{?(1)|$}, то в
силу (3)
lim p{-^-<xl=G(x). (4)
t-> ОО I f J
б. Теоремы для производящих функций
213
ЛИТЕРАТУРА
[1] В 1 u n J. R., С h е г п о f f Н., Rosenblatt М., Т е i с h е г Н.,
Central limit theorems for interchangeable processes, Canadian J. Math.,
10 (1958), 222-229.
[2] В ii h 1 m a n n H., Austauschbare stochastische Variabeln und ihre
Grenzwertsa-etze, Univ. California Publ. in Statist., 3 (1960), 1-36.
6. АБЕЛЕВЫ И ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Пусть а0, а,, ..., ak, ... - бесконечная последовательность комплексных
чисел и
f(z)=iakzk (1)
k=0
- производящая функция этой последовательности. Абелевы теоремы
1. Если ряд f (2) сходится при \z | < 1 и предел
1тЛ=тйглг <2>
существует для некоторого сс^О, то
lim (1 - z)a+7(z) = А. (3)
г-И-0
При а = 0 получается первоначальная теорема Абеля. Случай сс>0 был
рассмотрен Аппелем [2]. 2. Если ряд f (2) сходится при \ z \ < 1 и
"•~-ГЙТТТ'аг-№) ,4)
при k->oo, где функция L(x) такова, что lim L{cx)/L(x) = 1 для
Х->со
любого положительного числа су то
<5>
при 2 -> 1 - 0. Эта теорема принадлежит Харди и Литлвуду [4]. Тауберовы
теоремы
1. Если ряд f(z) сходится при 12 | < 1, предел
lim (1 - 2)a+1f(2)= А (6)
z-И-0
существует для некоторого а^О и k(ak - ak-1)> - К, k = 1, 2, ..., где К -
положительная константа, то
ak А
214
Дополнение
Если limk(a,k~ a*_i) = 0, то получается первоначальная теорема.
Таубера. Данную теорему доказали Харди и Литлвуд [4, 5]; см. также
Карамата [6]. 2. Пусть ряд f(z) сходится при |z|<l и
npuz-> 1 - 0, гдеа^ 0 и функция L (х) такова, что lim L (cx)/L(x)= 1
для любого положительного числа с. Если а0 ^ ^ ... ^ ak ...
или а > 0 и k (ak - ak-1) > -KkaL (k), где К - положительная константа,
то
при k -> ОО. Доказательство можно найти у Харди и Литлвуда [5].
I. Reine Angew. Math., 1 (1826), 311-339.
[2] А р р е 11 P., Sur certaines series ordonnes par rapport aux
puissances d'une variable, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 87 (1978), 689-
692.
[3] Харди Г., Расходящиеся ряды, ИЛ, М., 1951.
[4] Hardy G. Н., Little wood J. Е., Tauberian theorems concerning power
series and Dirichlet's series whose coefficients are positive, Proc.
London Math. Soc., Sec. Ser., 13 (1914), 174-192.
[5] Hardy G. H., L i 111 e w о о d J. E., Notes on the theory of series
(XI): On Tauberian theorems, Proc. London Math. Soc., Sec. Ser., 30
(1929), 23-37.
[6] Karamata J., Ober die Hardy-Littlewoodschen Umkehrungen des Abelschen
Stetigkeitssatzes, Math. Z., 32 (1930), 319-320.
[7] К г о n e с k e r L., Quelques remarques sur la determination des
valeurs moyen-nes, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 103 (1886), 980-987.
