Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
событиями.
Теорема непрерывности для вероятностей. Пусть задана бесконечная
последовательность событий: Аи А2, ..., Аг, ... .
ОО 00
Определим lim Ап = пи Аг как событие, состоящее в том, что
n=l r-n
произойдет бесконечное число событий Аи А2, ..., Аг, ...,
оо оо
a lim Ап = и п Ат - как событие, состоящее в том, что произой-
гг-> оо п=1 г~п
дут все, кроме конечного числа событий, Аи А2, ..., Ап .... Если lim Ап =
lim Ап, то будем говорить, что существует предел lim Ап,
П->°° 1^о , п~>°°
который равен общему значению этих двух пределов. Если последовательность
событий Аь А2, ..., Агг ... монотонна, то lim Ап
ОО
существует. Если lim Ап существует, то
ОО
P{lim Л"}= lim Р{Л"}. (1)
оо /г-> оо
Случайные величины. Под вещественной случайной величиной | понимается
функция | = |(со), определенная на й и измеримая относительно S&, т. е.
для всякого х событие {|(со)<1л:} принадлежит М. Случайная величина |(со)
может принимать как конечные, так и бесконечные значения.
Если случайная величина |(со), соей, принимает только конечные значения,
то функция F(x) = Р(|(со)<1 х) называется функцией распределения
случайной величины |. Если F(x) абсолютно непрерывна, то ее можно
представить в виде
X
F(x)= \f(y)dy
- оо
(2)
200
Дополнение
для любого х. Функция f(x) называется плотностью случайной величины |.
Спектром случайной величины | называется множество R - {x: F(x + е) - F
(х - в) >0 для всех 6>0}.
Если не указано противное, то мы будем рассматривать случайные величины,
принимающие лишь конечные значения.
Математическое ожидание. Математическое ожидание случайной величины |,
принимающей лишь конечные значения, определяется как интеграл
Если функция |((о) абсолютно интегрируема, то будем говорить, что | имеет
конечное математическое ожидание. Если же интеграл от 11 (со) | по Q
бесконечен, то либо Е{|} = оо, либо Е{|}= - оо, либо Е {|} не существует.
Если g{x) - измеримая по Борелю функция от х, то r] = g(|) также есть
случайная величина и ее математическое ожидание равно
если только интеграл сходится.
Производящие функции. Если| - вещественная случайная величина,
принимающая только конечные значения, то математическое ожидание G(z) =
E{z^} существует при |z| = 1 и называется производящей функцией случайной
величины |. Распределение случайной величины | однозначно определяется ее
производящей функцией. Производящей функцией чаще всего пользуются, когда
спектр R случайной величины | содержит только неотрицательные целые
числа. В этом случае G (z) сходится при | z | ^ 1 и является регулярной
функцией от z при | z | < 1 •
ПреобразованиеЛапласа - Стильтьеса. Если | - вещественная случайная
величина, принимающая только конечные значения, то математическое
ожидание cp(s) = E{e-s^} существует при Re(s) = 0 и называется
преобразованием Лапласа - Стильтьеса функции распределения случайной
величины |. Распределение случайной величины | однозначно определяется
его преобразованием Лапласа - Стильтьеса. Преобразованием Лапласа -
Стильтьеса случайной величины | часто пользуются, когда ее спектр R
состоит только из неотрицательных чисел. В этом случае <p(s) всегда
сходится при Re(s)^0 ц является регулярной функцией от s при Re(s)>0,
оо
(3)
оо
Е{ц}= J g&(<s>))dP= J g(x)dF(x),
(4)
1. Общие понятия и теоремы
201
Характеристические функции. Если | - вещественная случайная величина,
принимающая только конечные значения, то математическое ожидание ф (со) =
Е {|'"^} всегда существует при
- оо<со<°° и называется характеристической функцией случайной величины
Очевидно, что ф (со) = ф (-/со). Распределение случайной величины
однозначно определяется ее характеристической функцией.
Условные вероятности. Пусть (Q, s4-, Р) - вероятностное пространство, А -
событие, a -это cr-поле множеств, принадлежащих s?, т. е. о-подалгебра
алгебры S&. Условная вероятность события А относительно обозначаемая
через Р{Л|$},
определяется как произвольная функция от со, измеримая относительно $ и
удовлетворяющая условию
| Р{Л |$}с/Р = Р{ЛВ} (5)
в
для всех Bel Из теоремы Радона - Никодима следует,' что такая функция
существует и единственна с точностью до эквивалентности, т. е. любые две
такие функции равны почти всюду; они могут отличаться лишь на со-
множестве нулевой вероятности.
Если I = ?(со) - вещественная случайная величина, принимающая только
конечные значения, то Р{Л||} определяется как одна из функций Р{А\$}, где
есть о-поле, порожденное |, т. е. минимальное о-поле, содержащее
множества {g(co)^x}. В этом случае Р{Л ||} является бэровской функцией от
|. Далее мы будем пользоваться обозначением Р{Л -11 = *}= Р{Л
||}||((1))=JC.
Утверждение
оо
Р{Л}= J Р{Л |? = *}с/Р{Ю} (6)
- оо
называется теоремой о полной вероятности.
Условные математические ожидания. Пусть (Q, S&, Р)
- вероятностное пространство, т] - вещественная случайная величина,
принимающая только конечные значения, с конечным математическим
ожиданием, а $ есть о-поле множеств из S&. Условное математическое
