Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
оо
J e~sxdF{x) = ((i{s) (5)
о
218 -
Дополнение
при Re(s)^0. Функция <p(s) однозначно определяется при Re(s)^0
посредством аналитического продолжения и продолжения по непрерывности.
(См. Зигмунд [5] и Феллер [3].) '
Характеристические функции. Пусть п- 1, 2, ...,- вещественные случайные
величины и
Ф"(а>) = Е{е''йЧ (6)
для вещественных <д. Если lim ф"(ш) = ф(<д) для любого конеч-
П-> оо
ного (о и lifn ф((о)= 1, то существует такая функция распределе-
ю-"0
ния F(x), что lim Р {|" ^ х] = F (х) для любой точки х, в которой
П-> оо
F (х) непрерывна, и
оо
J еш dF {х) = ф (со). (7)
-оо
(См. Крамер [1].)
ЛИТЕРАТУРА
[1] Крамер Г., Случайные величины и распределения вероятностей, ИЛ, М.,
1947.
[2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, изд-
во "Мир", М., 1967.
[3] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, изд-
во "Мир", М., 1967.
[4] Л оэ в М., Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962.
[5] Zygmund A., A remark on characteristic functions, Proceedings of the
Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability,
University of California Press, Berkeley, Los Angeles, 1951, 369-372.
9. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ФУНКЦИЯХ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Теорема Адамара -Лиувилля. Если функция f{z) регулярна в конечной части
комплексной плоскости и lim f(z)/zk = О,
I 2 |->00
то f(z)~ полином степени k.
См. Титчмарш [5].
Теорема Руше. Если функции f(z) и g(z) регулярны в области (открытом
связном множестве) D и | g {z) | < | / (z) | на ее границе, то f (z) и f
(z) ± g (2) имеют в D одинаковое количество нулей.
См. Титчмарш [5].
Разложение Лагранжа. Пусть функция g(z) регулярна в области D и a^D. Если
w таково, что на границе области D
\wgi,z)\<\z-a\, (1)
9. Теоремы о функциях комплексного переменного
219
то уравнение
t, = а + wg (?), (2)
рассматриваемое как уравнение относительно ?, имеет в D точно один
корень. Если функция f(z) регулярна в D, то
¦ да
п=-1
См. Уиттекер и Ватсон [7].
Теорема Бюрмана. Если первые п производных функции f(z) и первые п~ 1
производных функции g(z) существуют в точке 2 = 0 " w = ujg{u), g(0)=#=0,
то
П
а* [ dk~'f' (a) [g(a))k
й=1 ' -- 'e-0
См. Уиттекер и Ватсон [7].
Формула Фаа ди Бруно. Если z = f{y) и y = g (х), то п-я
производная функции z = f(g(x)) по х в точке х = 0
равна
(iite))) , (5)
\ ах ух=0 ^ \ ay /y=*g( о)
где
. X . <"
;'i+/2+ ¦¦•+in-r /j+2/2+ ... +п\п=п
если только все рассматриваемые производные существуют.
См. Фаа ди Бруно [1] и Жордан [3, стр. 33].
В заключение отметим, что метод Винера -Хопфа решения интегрального
уравнения
/(*) =
обсуждается в книге Титчмарша [5J.
Г k(x~ у) f (у) dy при х>0, о (7)
0 при лг<!0
220
Дополнение
ЛИТЕРАТУРА
[1] di Bruno F a a, Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel.
Quart.
1. Pure Appl. Math.. 1 (1857), 359-360.
[2] H о p f E., Mathematical problems of radiative equilibrium, Cambridge
Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, № 31, Cambridge
University Press, 1934.
[3] Jordan Ch., Calculus of finite differences, Budapest, 1939, Chelsea,
New York, 1947.
[4] M у с x e л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения,
изд-во "Наука", 1968.
[5] Титчмарш Е., Теория функций, Гостехиздат, М. - Л., 1951.
[6] Тит ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат,
М.-Л.,
1948.
[7] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, Физматгиз,
М., 1962.
[8] Wiener N., Hopf Е., Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen,
Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Math. Klasse, Berlin, 31 (1931),
696-706:
[9] Винер H., Пэл и P., Преобразование Фурье в комплексной области, изд-
во "Наука", М., 1964,
РЕШЕНИЯ
Глава 1
1. Обозначим через N (а, 6) число благоприятных избирательных
протоколов. Полное число всевозможных избирательных протоколов равно
Таким образом, Р (a, 6) = N (а+ 6)Еслн т0 очевидно, что
N (а, 6) = 0, а при а> 6р
N(a, b) = N(a-\, b) + N (а, 6-1). (1)
Это уравнение отражает тот факт, что последний подсчитанный голос может
быть подан либо за А, либо за В. Если исходить из равенства N (а, 0) = 1
для a^l, то N (а, 6) можно получить последовательно с помощью (1). Общее
решение уравнения (1), удовлетворяющее условию N (а, 0) = 1 для a^l,
равно
N(a, 6) = 2С/ (а + ЬЬ1)~')' (2>
/=0
где константы С., / = 0, 1, 2...... не зависят от а и 6,
причем CQ= 1, а С.^
j= 1, 2 определяются из условия
(3)
' \ о-] /
/=о
для 6 = 1, 2, ... . Здесь [6р] означает наибольшее целое число, не
превосходящее 6ц. Отсюда
/="0 1=0
при а> 6р и Р (а, 6) = 0 при а <1 6р.
Если, в частности, р - неотрицательное целое число, то из (3) получаем Cj
= - р, /= 1, 2, ..., откуда в силу (4)
для а^бр, что согласуется с формулой (1) § 2.
2. Добавим еще один голос за Л к имеющимся а + 6 голосам. Тогда
вероятность того, что при подсчете голосов А лидирует с преимуществом
большим, чем р : 1, равна
г> / , , 1Л а+1 -рб
i д + 1~ + 6 •
С другой стороны,
*(" + 1. *) = 4tT6<2("'
