Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
na(x+vl</< 4<nP(x+v)
(19)
где вероятности в правой части определяются по формулам (5)
§ 40. Непрерывные распределения
189
Если, в частности, Р=1, то для х^О
Р{Р^(". 1, У)<*} =
Доказательство. Если в формуле (16) положим а = 0 и с = 1/(х + у),
получим правую часть формулы (15). Формулу (19) получим, если примем во
внимание, что Р {с%п (у) - а + у, с%п($) = = a + z} = 0, за исключением
тех случаев, когда У = j/n(x + у) и 2 = fe/ra (х + у), где 0 k ^ п.
Замечание. Если a = 0 и л: = О, то формулу (20) можно упростить (с учетом
теоремы 1 § 13):
Р {р+ (0, 1, у)<0} = P{sup [% (и) - ум] < 0} = 1 - 1/у. (21)
Если определить случайные величины 6~ (а, р, у) и р~ (а, р, у) аналогично
(12) и (13), то их распределения можно получить тем же способом, что и
распределения случайных величин (12) и (13).
Заметим, что для разных частных случаев разные авторы определяли как
распределения величин 6+ (а, р, у) и рф (а, р, у), так и их
асимптотическое поведение. Распределение для 6+ (0, 1, 1) было найдено Н.
В. 'Смирновым [57] и Бирнбаумом и Тинджи [32]; для 6+ (a, 1, 1) -Н. В.
Смирновым [58], а для 6ф (0, 1, у)- Демпстером [37] и Двоссом [41].
Распределение для р+(0, р, 0) нашел Чжэнь [34], а для рф (a, 1, 1) -Исии
[48] и Н. В. Смирнов [58]. Формулу (21) получили Дэниэлс [36], Роббинс
[55], Чжэнь [34] и др.
Теорема 4. Пусть
Доказательство. В самом деле, 6+ = (k - х)/п и p'n = k тогда и только
тогда, когда ^ = х/п и %п(и)~Хп(х/п)^и - (х/п) для 0^м<П. Условие ?*=х/п
эквивалентно условиям %п(х/п) = = k/п и %п (х/п - 0) = (k - 1)/я. По
формуле (2) § 13
Если 0<х <k, то
dQk ( dx
(k-x) (п - х)п~ ft_I
kxk-1-'?i(kj)ii-4x-i)k~i ¦ (23)
/=i
190
Гл. 8. Порядковые статистики
если 0^.x^k, а по формуле (1) § 17
Р{х"(и)-Х" (?)<"-? Для 0<h<^|x"(|-0) = AxL,
*"Ш=4}=
= р{н-хЛм)<| Для 0<м<||х"(~-0)-^} =
= 1 - |7 Р { *" (i) ~| X. (~~ °) - V } > (25)
/=1
так как в (25) можно заменить %п(х/п - 0) - %п(и) на %п{х/п - и) для
О^и^х/п и искомая вероятность при этом не изменится. Далее,
dP [й < */"} _ dp {У-п (*/") < Ып) (оеЛ
dx dx •
Перемножив равенства (24), (25) и (26), получим
dGk (х) dx
dp {%п (х/п) > k/n) _ dx
У* 1 fan (//я) - 0 ~ 1) я. Хп (х/п) > fe/я) ^ j dx
1=1
для 0<x<k. Так как
(Хге (*/") > fe/я) _ (" - 1 \ (Л*-1 (1 _ ?\ d* \ & - 1 / \ л / \
л/
n-k
dp hn (i/ti) = (/ - l)/n, Xn (jc/д) > fe/я) _ dx
(27)
(28)
(29)
для и 1 то из (27) следует (23).
Совместное распределение величин 6+ и р+ нашли Бирнбаум и Пайк [31].
Теорема 5. Случайная величина р*/я - 6+ равномерно распределена в
интервале (0, 1).
Доказательство. Если р*/" - 6+ = * (0<*<1), то х обязательно является
элементом выборки (|i, |2, ...,|"), так что Хп(*)"X".С*-0) = 1/л и Хп (и)
- Хп (*Х " - *. 0<н<1. Пусть
§ 40. Непрерывные распределения
191
х'п (") = (" + х) Г Kn w для 0<ы<1 -х и %'п{х)= 1 -%п{и + х -
- 1) - %п(х) для 1- xs^u^l. Тогда
Действительно, легко видеть, что к процессу (%*("), 0 ^ 1}
можно применить теорему 1 § 13, и тогда из формулы (2) § 13 получается
последнее равенство в (30). Так как вероятность того, что по крайней мере
один элемент выборки (?ь ?2, •••>?") попадет в интервал (х, х + Дх),
равна п\х + о (Ах) при 0 =^х ^ 1 - Ах, то плотность случайной величины
р*/н- бф равна 1 в интервале (0, 1). Теорема доказана.
Эта теорема принадлежит Бирнбауму и Пайку [31]. Другие доказательства
были даны Двоссом [40] и Кюйпером [52].
Выборки случайного размера. Пусть g,, g2, •¦•> ?г> •••- бесконечная
последовательность взаимно независимых случайных величин с общей
непрерывной функцией распределения F (х). Пусть v - случайная величина,
распределенная по закону Пуассона с интенсивностью Я, т. е.
P{v = j} = e-^~ (31)
для / = 0, 1, 2 Пусть v не зависит от {?"}. Обозначим через
F%{x), - °°<х<оо, эмпирическую функцию распределения выборки случайного
размера (?ь ?2, •••> lv)l Fi(x) = 0 при v = 0.
Положим
Легко видеть, что у+ (Я), у~ (Я), 6+ (Я) и б- (Я) - статистики, свободные
от распределения. Поэтому при нахождении их распределений будем считать,
что F (х) = х при 0 *^х^ 1. Тогда \Fk(x) = v (и) при O^u^l, где (v(u),
1} - пуассоновский процесс с ин-
тенсивностью Я и v = v (1). Отсюда
Для 0<ы<1|х"(х)-х№(х-0) = -^-|
р{х* (")<" для 0<u< 1 If (1 -°)=-^г} = 'Т- (3°)
(32)
(33)
б+(Я)= sup [Fi{x)-F(x)]
(34)
- оо < X < ОО
И
б (Я) = sup [F{x)-Fx{x)\.
(35)
р {v (и) = /} = е~Хи
(36)
192
Гл. 8. Порядковые статистики
для j = 0, 1, 2.... При нахождении распределений величин
(32) -(35) мы воспользуемся следующими утверждениями: если а 0 и с>0,
то
Р{ sup [cv (и) - и] <: а} = Р {cv (1) + 1} -
0< u< 1
~ XS (т37) P{cv(y) = fl + y, cv(l) = a + ^} (37)
0<y<z<l
(в силу теоремы 1 § 15), и
Р{ sup [м-cv (и)] <а}= 1 - У Р {cv (у) = у - а} (38)
0<U<1. а<у<ХУ
(в силу теоремы 1 § 17).
Теорема 6. Для х^О
P{Y+W<*}=P{v(l)<M*+l)}- SS (4{Шу^т)х
Кх </ < (jc+1)
Х Р{'' (г -^)-/}р{*(д:+ 1-!)_*_/}, (39)
где распределение величины v(и), определяется по фор-
муле (36).
Доказательство. Имеем
