Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
аппроксимируем процесс {?("), 0^и<оо} семейством
§ 24. Процессы, не имеющие отрицательных скачков
95-
процессов типа, определенного в § 21, после чего искомые распределения
окажутся пределами соответствующих вероятностей из § 21.
Рассмотрим процесс {? (") = Nv - v (и), 0 ^ и ^ оо}, определенный в § 21,
но теперь (v("), 0 ^ и < оо) - пуассоновский процесс интенсивности Л, a
v,, v2, ..., vr, ...-взаимно независимые и одинаково распределенные
случайные величины с распределением Р {vr = /} = 1 = 0, 1, 2, ...,
причем (vr) и {v (")} независимы.
Иначе говоря, мы теперь предполагаем, что распределение величины vr, г =
1, 2, ..., зависит также от X. Для каждого фиксированного X обозначим
через {?*("), 0^"<°о} соответствующий процесс. Это процесс со
стационарными независимыми приращениями, Р{?\(0) = 0}=1 и функция
E{e~'s^(")} = eu'ia(s) (9)
определена для Re(s)^0.
Легко видеть, что можно выбрать распределения л^, / = 0, 1,
2, ..., и нормировочный множитель g(X) = cX'/2 так, что при Х->°°
конечномерные распределения процесса {g(X)h(u), 0^"<оо) сходятся к
соответствующим конечномерным распределениям процесса {?("), 0^"<оо),
определенного в начале параграфа. Для доказательства достаточно
убедиться, что можно выбрать
/ = 0, 1, 2.... и g(X) так, чтобы при Re(s)^0 выполнялось
соотношение
Нт ЧМ?(Я)5) = ЧД5). (10)
В предыдущем параграфе мы рассмотрели броуновское движение и получили
выражения для g (X) и в явном виде. Сейчас мы применим аналогичную
процедуру для нахождения g(X) и подходящих распределений
Рассмотрим семейство сепарабельных случайных процессов {?*.("), 0 ^ и <
оо}, определенных выше. Для этого семейства при всех х
Р{ sup ?(")<*}= lim Pfe(X)' sup ?Ды)0}- 00
Х-+00 о
Для процесса {^("), 0^и<оо) мы будем использовать те же
обозначения, что и для процесса {?("), 0^и<°°}, определенного
в § 21, и будем добавлять индекс X. Например, Ya. = E{vr}, r= 1, 2, ...,
р*"Л(1-уОи<21",А = 0, 1, 2, ... (см. (25) § 21), вместо ЧДз) мы будем
писать 4\(s).
Приступим теперь к формулировке теорем, аналогичных теоремам § 21.
96
Гл. 4. Случайные блужданий
Теорема 1. Для л; > О Р{ sup ?(")<¦*} = Р{? (0 <*)-
0<ы<<
- J Е ([е7-^Ц)1~ Р {х < S (") < * + **">" 02)
о
где I* (ы) = - ? (и) при и ^ 0.
Доказательство. Применив формулу (12) § 21 к процессу (и), 0 и < оо) и
положив k = [x/g(k)], получим при Я->оо формулу (12).
Теорема 2.
t
Е{ sup ?(н)}= f E{[S(")]+}~• (13)
О < и < t ? 11
Доказательство. Достаточно применить формулу (10) § 21 к процессу {1х(и),
0 <лг < оо) и устремить Я к оо.
Теорема 3. Если р>0, то для х>0
со
Р{ sup I ("X х} = 1 - р f V {х <1{и) < х + du}. (14)
0< и < °° 4
Доказательство. Применим формулу (13) § 21 к процессу {Еа, (ы)> о ^ М <
оо} и положим k = [x/g{X)]. Так как
lim ?(Я)Я( 1 - уЯ) = р,
ОО
то доказательство закончено. Формулу (14) можно также получить
непосредственно из (12). Заметим, что если р^О, то
Р{ sup ?(и)<Д} = 0 для всех х.
0<" < оо
Теорема 4. Если р > 0, то для всех х > 0
Р{ sup ?(")<*}= (15)
0< U < ОО
где
00
j e-**W(x)dx=yfc (16)
о
при Re(s)>0.
Доказательство. Согласно теореме 4 § 21,
^" = ^Q?W)]> (17)
§ 24. Процессы, не имеющие отрицательных скачков
97
а в силу (19) § 21
оо ОО
J e~sxW(x)dx = lim g (А,) ^ 0Д)е~^ wsk -
к-i
- lim gWPx P
Titew*) " (18)
A-> OO
для Re(s)>0. Теорема доказана.
Пусть 0 (х) - момент времени первого прохождения процесса (?(и), 0<м<оо}
через -х. Тогда для х>0
0(х) = inf (?(и) ^ - х и 0^м<оо} (19)
и 0(х) = оо при ?(и)> - х для всех и^О.
Теорема 5. Для 0<с^х
Р{ sup ? (и) < х - с} = W^r,c) , (20)
0<и<в(с) w \х)
где
оо
JV- W{x)dx = -^-~ (21)
о
при Re(s)>co; здесь со - наибольший неотрицательный вещественный
корень уравнения 4f(s) = 0, а С -отличная от 0 константа.
Если р ^ 0, то со = 0, а если р < 0, то со > 0.
Доказательство. Применяя теорему 5 § 21 к процессу {!*("). и
полагая k = [x/g (Л-)], i' = [c/g(A)] и
А->оо, по-
лучаем формулу (20). В ней
W{x) - ^Rn (Х)] (22)
при х^О. В силу (25) § 21
оо оо
| e~sxW(x)dx= lim g (X) ^ Q^e~8 (Ц sii =
*=i
= lim -- ^ - = -<x- C231
л" " П (g (A) s) 47 (s) ' ^
где для получения предела мы положили С% = C/g (А), С 0.
Это преобразование Лапласа сходится при Re(s)>o>, где оз- наибольший
неотрицательный вещественный корень уравнения
98
Г л. 4. Случайные блуждания
Теорема 6. Если х > О, то
t
Р{0 (*)<*} = J \ P{x<C(u)<x + du), (24)
о
где ?* (")=-? (и) для всех и^О.
Доказательство. Эта теорема непосредственно следует из теоремы 6 § 21,
если ее применить к процессу {?*,("), 0 ^ и < оо}, положив k = [xjg (X)]
и устремив X к оо.
Теорема 7. Если х>0, то
Р {0 (х) < оо} = е~ш, (25)
еде со - наибольший неотрицательный корень уравнения xF(s) = 0. Если
р75=0, то со = 0, а если р < 0, то со>0. Если р>0, то
Е {0 (х)} = ~, (26)
а если р = 0, то Е{0(д:)}=оо.
Доказательство. Пусть - наибольший неотрицательный корень уравнения T\(s)
= 0. Тогда по теореме 7 § 21 равенство (25) верно для ю= lim g(X)&x-
Отсюда Т" (со) = 0 и со - максимальный
