Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
queues, Proceedings of the Symposium on Congestion Theory, University of
North Carolina Press, 1965, pp. 337-398.
[18] Takacs L., Applications of a ballot theorem in physics and in
order statistics, /. Roy. Stat. Soc., Ser. B, 27 (1965), 130-
137.
[19] Takacs L., On combinatorial methods in the theory of stochastic
processes,
Proc. Fifth Berkeley Symp. on Math. Stat. and Prob., Vol. II, Part
I, Univer-
sity of California Press, 1967, pp. 431-447.
[20] Takacs L., The distribution of the content of finite dams, J. Appl.
Prob., 4 (1967), 151 - 161.
[21] Whittaker E. Т., An expression of certain known functions as
generalized hypergeometric functions, Bull. Ainer. Math. Soc., 10 (1904),
125-134.
Глава 4 СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ
§ 21. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С ПЕРЕСТАВЛЯЕМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СО СТАЦИОНАРНЫМИ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ, ПРИНИМАЮЩИЕ ЦЕЛЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Пусть V,, v2, vr, ...-переставляемые случайные величины, принимающие
неотрицательные целые значения. Положим Nr = vi+ ... +vr для г = 1, 2,
... и Ng - 0. Пусть (v("), 0<"<оо} - пуассоновский процесс с
интенсивностью %, a {vr} и {v (w)} независимы. Пусть, кроме того, ? (u) =
Nv ("> - v (и) н Щи) = v (и) - Av (и) для 0 ^ ц < оо.
Тогда {?("), 0 < оо} - сепарабельный случайный процесс
с переставляемыми приращениями, почти все выборочные функции которого
являются ступенчатыми функциями со скачками величины 1, -1, -2, ....
Аналогично {|*("), 0 ^ и< оо} - сепарабельный случайный процесс с
переставляемыми приращениями, почти все выборочные функции которого
являются ступенчатыми функциями со скачками величины -1, 1, 2 ....
Очевидно, что ?*(")= - 1(и), но нам будет удобно различать эти два
процесса и по-разному их обозначать.
Если,, в частности, vb v2, ..., vr, ...-взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые
значения, то процессы Щи), 0 <!" < оо} и {?*{")> 0^ц<оо} имеют
стационарные независимые приращения.
В этой главе мы найдем распределения случайных величин sup 1(и) и sup
1*(и) как для конечных t, так и для t = 6o. оо
Мы будем использовать в этом параграфе те же обозначения, касающиеся
случайных величин vj, v2, ..., vr, что и в гл. 2. В частности, Y = E(vr},
л (2) = Е (2Vr} и б -наименьший неотрицательный вещественный корень
уравнения k(z) = z.
Если {|("), 0 ^ "< оо} - процесс с переставляемыми или стационарными и
независимыми приращениями, то
оо
Р {? (u) = k) = ^ Р {V (и) = п) Р {Nn - п = Щ =
П = 0
= iNn-n = k} (1)
п=0
для k = 0, ±1, ±2, ... и "^0, н
Е {?(")} = Я (у - 1)".
(2)
82
Гл. 4. Случайные блуждания
Если процесс Щи), 0^"<оо} имеет стационарные независимые приращения, то
Е {^(ы)} =ехр[-(l - (3)
при 0<|z|^1 или
E{e-sU")} = e"'ir(s> (4)
при Re(s)^0, где
4х(s) = X(esn (e~s) - 1). (5)
Дальше мы всюду будем предполагать, что {?(и), 0^"<оо} -
сепарабельный случайный процесс с переставляемыми или стационарными
независимыми приращениями, и распределение случайной величины ?(")
определяется по формуле (1). Тривиальный случай я0 - 0, вообще говоря,
исключается. Кроме того, мы будем считать, что (и) = - ? (и) для всех и ^
0.
Мы увидим, что все теоремы из § 6 - 8 имеют аналоги для процесса {?("),
0^и<оо}.
Теорема 1. Если {? (и), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляемыми
приращениями, то при k > 0
Р{ sup !(м)<?} = Р{| (*)<&}-
оо t
~Yir j t~P{l(u) = k, Ut) = k-r)du. (6)
r= 1 0
Доказательство. Докажем более общую формулу, из которой будет следовать
(6). Если k=\, 2, ... и i = 1, 2, ..то
Р{ sup l(u)<k и l(t)^k - i} = P{l(t)^:k - i} - о
оо t
~lir J 77тЬгР?(ы) = *> (7)
r=i 0
При условии, что v(t) - п, вероятность события { sup ?,{u)<k
о
и - i} можно найти по формуле (2) § 6 для п=1, 2, ...,
а если п = 0, Ьта вероятность равна 1 или 0 соответственно при k^i и k<i.
Отсюда
Р{ sup l(u)<k и %(t)^k-i}=P {l(t)s^k-i}-
0<u<t oo n - in - j
"2 2 S(^7jP {#/-/ = *, M"-M/-(rt-/)=-r}P{v(0 = rt}. (8)
n= I / = 1 r=l
§ 21. Процессы, принимающие целые значения
83
Используя тождество
t
Р {v (t) = п} = (п- j) J Р {v (и) = /} Р {v (t) -v(u) = n- /} du (9)
О
для / - 0, 1, n-Y и меняя порядок суммирования в (8)
оо П~ i П - j оо оо оо
2 2 2 = 2 2 2 ,
п= 1 / -I r = i r = i / = I n = r + f
получаем (7). Формула (6) получается из (7) при i= 1.
Теорема 2. Вели {?("), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляе-
мыми приращениями, то
Е{ sup |(")}= f E{[|(")]+)-f-. (10)
о<u<; J "
Доказательство. Имеем
оо
Е{ sup Ци)} = 2 Р{ sup Uu)^k), (11)
0 <u<* fc=l 0<ц<*
а правую часть здесь можно найти с помощью формулы (6).
Если, в частности, {?("), 0 ^"<оо} - процесс со стационар-
ными независимыми приращениями, то (6) можно также записать в виде
Р{ sup !(")<*} = Р {!(*)<*}- ¦Е([Г/-~Ы)1+} Р Ш = к)йи, (12)
0<u<f g ' "
где I" (t - и) = - l(t - и).
Теорема 3. Если Щи), 0 и< оо} - процесс со стационарными независимыми
приращениями и у<1, то при k>0
со
Р{ sup Ци) < k) = 1 - Я(1 - у) fp {l(u) = k}du. (13)
0< и < со ' g
