Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
о
при 1 ^ i < 6. Это также следует из соотношения (3) § 8. Устремляя в (41)
t к 00, получаем
оо
Р{ sup |*(и)<6} = 1-6 f P{|*(") = 6}-f-. (44)
О < о < 00 j И
Если, в частности, {?* (и), 0 ^ и< оо} - процесс со стационарными
независимыми приращениями, то правая часть равенства (44) превращается в
1- е~шк, где со то же, что й в теореме 7.
88
Гл. 4. Случайные блуждания
§ 22. ПРОЦЕСС СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ
Пусть частица совершает случайное блуждание по оси х. Находясь сначала в
точке х = 0, частица за один шаг может сдвинуться на единицу вправо с
вероятностью р и на единицу влево с вероятностью q (р + q = 1, 0 < р <
1). Смещения частицы происходят в случайные моменты времени в интервале
(0, оо). Обозначим через v (и) число шагов, сделанных частицей в
интервале (0, и]. Предположим, что {v (и), 0 ^ и < оо) - процесс Пуассона
с интенсивностью X и последовательные смещения независимы друг от друга и
от процесса {v ("), 0 ^ и < оо). Пусть | (и) - положение частицы в момент
времени и. Тогда {?("), 0^и< оо} -случайный процесс со стационарными
независимыми приращениями. При этом Р {S, (0) = 0} = 1 и почти все
выборочные функции являются ступенчатыми функциями со скачками 1 и -1.
Процесс {?("), 0 ^и<оо} подобен процессам, рассмотренным в § 21, и
теоремы, доказанные там, можно применить к этому процессу. Далее, | (и) =
Nv (ц) - v (и) для 0^"<оо, где vb v2, ..., vr, ...-взаимно независимые и
одинаково распределенные случайные величины с распределениями
для k - п, п - 2, , - п + 2, - га и Р
{Nn = п + k] = 0 в противном
случае. Кроме того,
для k = 0, ±1, ±2, ..., где 1Г(х) - модифицированная функция Бесселя
порядка г, определяемая рядом
Р К = 0} = q и Р {vr = 2} = р, где p + q=l и 0<р<1. При этом
(1)
(2)
P?(") = 6} = S е-*-^Р{Ып = п + к) = е-*(?)Ш1к(2ХрЪдЩ (3)
(4)
для г>0 и I-r(x) - 1г(х)- Отсюда следует, что
Е {? (и)} = к (р - q) и
(5)
(6)
и
Var {|(")} = Хи.
§ 22. Процесс случайного блуждания
89
Найдем теперь распределение случайной величины sup |(ы). По
для k>0, где |* (t - и) = - I (t - и).
Так как {?("), 0 ^и< оо} - процесс того же типа, что и {?*("), 0<лг<оо},
то для нахождения распределения sup ?(и) можно
применить теорему 9 § 21. Из соотношения (41) § 21 получаем
для ?>0.
Докажем теперь непосредственно, что для k>0 также верно и равенство
Смысл этого соотношения можно понять, если принять во внимание, что
последовательность {Nr - г, г = 0, 1, . . описывает рассматриваемое
случайное блуждание за первые п шагов. Тогда (10) можно рассматривать как
вероятность того, что после п шагов частица находится в точке х = / и в
течение этих п шагов никогда не попадает в точку х = k. В этих условиях
каждый путь имеет вероятность pin+nHq(n-m^ а число благоприятных путей
равно
что следует из принципов отражения. Это доказывает формулу (10), которую
можно представить в эквивалентном виде
формуле (21) § 21
0 <u<f
Р{ sup Uu)<k}= \-k\P{l(u) = k}^- (8)
0<"<< nJ "
P{ sup & (u)<fc}=P {&(/)< *}-(?)* P {?(/)<-*}. (9)
0<"<f ' 4/
Если k > 0 и j<k, to P { sup |(m)< k и l(t) = / | v(t) = n) =
= P {Nr - r < k для r = 0, 1, ..., n и Nn - n = /} =
V2 (fi + /) - k
n
(11)
P{ sup l(u)<k и l(t) = j\ v(t) = n} =
0<u<t
= p m = j I V (t) = n) - (ff P {|(0 = / - 2* |v (t) = "}. (12)
90
Гл. 4. Случайные блуждания
Соответствующая безусловная вероятность равна
р{ sup ш<ь и m=j}=pm=j}-(i)kpm=j-u}. из)
Складывая равенства (13) для j<k, получаем формулу (9), которую и
требовалось доказать.
Заметим, что так как {?*(")> 0 ^ оо} - процесс того же типа, что и {|(и),
0^ц<оо), то формулы (7) -(9) также верны и для процесса {?*(и), 0^"<оо}.
Если 0(A)-время первого прохождения процесса (|("), < оо}
через х = - А, где А > 0, то для А > 0
Р{0(А)<*} = 1 - Р{ sup Г(")<*). (14)
0<и<<
где |* (ы) = - | (и), а правую часть можно получить с помощью формул (7)
-(9).
Согласно теореме 4 § 21,
Р{ sup Uu)<k)=\-(A\ (15)
0< u < ОО \ Я /
если p<q и А>0, а согласно теореме 7 § 21,
Р {6 (А) <о6} = (|)\ (16)
если q <р и А > 0.
Если 1^г^А, то теорема 5 § 21 дает
Р{ sup ?(")< А-"} = -%=*-,' (17)
где
ь-ЦШ)- <18>
если р Ф q и А>0, и, наконец,
Q* = 2CA, ,(19)
если p = q и ?>0, причем С - произвольная отличная от 0 кон-
станта.
§ 23. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Пусть {? (и), 0 ^ "< оо} - вещественный сепарабельный случайный процесс
со стационарными независимыми приращениями, для которого Р {? (0) = 0} =
1 и при всех х
ре""*)-ф(^), (О
где а - вещественная константа, а - положительная константа и
X
фМ"7k^e~'Vdy <2>
§ 23. Броуновское движение
91
- нормальная функция распределения. В этом случае процесс
{? (и), 0 ^ и < оо} называется процессом броуновского движения
или винеровским процессом. Для него Е{?(м)} = аи и Var{?(и) = а2и при
м^О, и, кроме того,
E{e-*5("J} = e"TW (3)
где
'F (s) = - as + у a2s2 (4)
для всех ц^О и всех s.
Пусть 0 (х) - момент первого прохождения процесса {? ("), 0^ц<оо} через -
х. Тогда
0 (х) = inf {и: ? (м) < - х и 0 ^< оо} (5)
при х>0.
