Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
= (Ва) будут изменяться точно в соответствии с уравнением (20) при
функциях (21).
Подставим теперь формулы (44) и (11) в (27). Будем иметь
Я = Ф(дг)-Ф(0) + дга]Авш(А)^ = Ф(*)-*-|^(*)-Ф(0)
(использовано (15)). Сравнивая эту формулу с (22), получаем
Я = ? (А) - Ф (0) при А = А (х).
Следовательно, неравенство (47) есть не что иное, как полученное ранее
неравенство (26). Таким образом, применение неравенства (40), которое
(при условии существования производной) эквивалентно (29), дало еще одно
доказательство неравенства (26).
Яд < Я.
Комбинируя (40) и (45), находим Яд < Я.
(29.45)
(29.46)
dH/dt с 0.
(29.47)
345
Как видно из предыдущего, неравенство (26) является точным и справедливо
при любом уровне шумов, если движение в пространстве распределений идет
описанным выше образом по гиперповерхности Г, для чего необходимы
постоянные возвраты на Г. Возникает вопрос, похожи ли зависимость
энтропии от времени при таком движении и зависимость Н (t) при реальном
движении, когда возвратов на гиперповерхность Г не производится. Чтобы
указанные зависимости были похожи, .нужно, чтобы средние
/(2) (А) - J Ка (-6) wA (В) dB, wA (В) принадлежит Г
(которые суть не что иное, как правые части уравнения (20) при различных
вариантах трактовки этого уравнения) мало отличались друг от друга, если
обоим распределениям соответствуют одинаковые средние (В) = А. Различие
функций (48) невелико, если уровень шумов мал. Однако, если шумы в
системе велики, скажем, на нее воздействуют значительные внешние шумы, то
производная в (26) может заметно отличаться от производной d?/dt. Тогда
феноменологическое уравнение (20) теряет свое практическое значение.
Вместо А при этом следует брать w (В), вместо (20) - уравнение w = F [w],
т. е. кинетическое уравнение, а вместо Т (А) энтропию Н [ш], которая
удовлетворяет неравенству (29).
7. Энтропия - мера неопределенности параметров В. Энтропия Кульбака
(27), в отличие от обычной энтропии, не является мерой неопределенности
(она есть мера близости распределений w и wCT). Введем энтропию
которая характеризует неопределенность параметров В, их статистический
разброс.
Для равновесного состояния закрытых систем подстановкой формулы (2.44) в
(49) получаем
К такому же результату приводит подстановка формулы (2.41). Полученное
равенство следует понимать так: полная неопределенность в системе равна
сумме неопределенности параметров В и средней неопределенности
динамических переменных, остающейся после фиксации параметров В.
Возвращаясь к стационарному состоянию открытых систем, подставим в (49)
распределение (11). Это дает
Предположим, что энтропия (49) несколько изменяется вследствие вариации
6w стационарного распределения, вызванного, скажем,
Д' (Л) = j Ка (В) w (В) dB, w (В) не принадлежит Г,
(29.49)
S = SB + (S(B)).
SB = kyC1 [(?(?))-Ф(0)].
(29.50)
346
изменением уровня шумов. Ей соответствует дифференциал
dSB = -k J [In w (В) -j- 1 ] 6ш (В) dB = -¦ ? j In [w (B)l 6 w (В) dB
(интеграл J 6w dB равен нулю вследствие неизменности условия нормировки).
Подставляя сюда (11), получим
Если ? (В) не зависит от уровня шумов (так оно и есть в асимптотической
области в силу (9)), то
J ? (В)6ш (B)dB = d J ? (В) w (В) dB = d (? (В)),
и из (51) имеем
dSB = (х//г)-1 d (? (В)).
Это равенство является аналогом известной формулы dS = dQ/T равновесной
термодинамики, причем в роли dQ = dU выступает d (?), а в роли абсолютной
температуры Т - отношение х/А. При этом равенство (50) аналогично формуле
TS = U - F.
Конечно, не следует придавать большого значения этой аналогии. Дело в
том, что ? (В) вовсе не обязано иметь характер энергии, а энтропия SB
составляет ничтожно малую часть полной физической энтропии вследствие
того, что число параметров Ва ничтожно мало по сравнению с числом
молекулярных динамических переменных qt, pt. Основная энтропия в случае
стационарных неравновесных состояний движется следующим образом: она
непрерывно вырабатывается в открытой системе вследствие неравновесного
характера текущих в ней процессов и передается термостату (скажем,
окружающей среде). Параллельно происходит переход энергии от внешних
источников энергии в термостат.
8. Флуктуационно-диссипационные соотношения. Представим изображение
(7) разложением Тейлора
dSB = kvT1 J [? (В) - Ф (0)] бw (В) dB
kn1\w(B)6w(B)dB. (29.51)
R {у, х) =
оо оо
Здесь
lav..am, Рг- Р"
дпха1. . ,ат (дс)
при х = 0,
(29.53)
Формулы (52), (53) аналогичны (5.31), (10.5), (5.32).
347
Подставляя (52) в (6) и отбирая члены различных порядков по х, нетруднр
получить ФДС различных порядков. Так, отбирая линейные по х члены,
получаем
1а = 0.
Приравнивая нулю сумму квадратичных по х членов, будем иметь /а,р + /р.а
+ х-1/вз = 0. (29.54)
Рассматривая кубические члены, находим
^ 0а, Pv ^р, ау ^у, ар) Т fcp, 7 ~Т~ ^ру, а "Ь ^уа, р "Ь И Р7 == 9.
(29.55) Члены четвертого порядка по х дают соотношение
К2 {la, Руб + h, ауб + 1у, аРб + 4, аРу) +
~Ь 54 (fcp, уб + 4iy, ре + 4с6, Ру + ^Ру, аб + Цб, ау "Г ^уб, ар) +
