Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
уравнению D А с - 0, получаемому из (53), т. е. уравнению div/=0, где
j = -D grad с. (27.54)
Если ось х направить вдоль потока, то формула (54) примет вид
jx = -D дс/дх, jy = -D дс/ду = 0, /г = -D dcidz - 0.
Из уравнения div j = 0 вытекает, что jx является постоянным. Это значит,
что концентрация в среде меняется по линейному закону
с (г) = с0 ¦- (jx/D) х
(27.55)
(с0 = с (0)). (Если мы хотим рассчитать флуктуации в данной системе, то
можно использовать линейное ФДС или принять во внимание найденный в п.
8.6 кинетический потенциал (8.62). Используя формулу (5.5) или (5.6) при
а -"¦ г, при помощи этого потенциала можно найти соответствующий
уравнению (53) коэффициент КГГ' [с] кинетического уравнения. Поскольку
j Krr-У (г) у (г') dr dr' = 2 -Щг D J c(r)\Sjy (г) \2 dr,
находим
Krr [С] :
2D 2D
- (Ус (г) V)rr- =-----------------
NA дг" дг'а
[с (г) 6 (г -г')]. (27.56)
Пользуясь этим равенством, можно записать стохастическое уравнение:
c{r) = D Ас (г) + div [с'Л (г) ? (г, t)]t (27.57)
329
которому удовлетворяет случайная концентрация. Здесь ? = = (ti, t2, ta) -
вектор, компоненты которого являются независимыми случайными функциями,
имеющими нулевое среднее значение и коррелятор
(tt(r, t) Г)) = (2D/7Va)v' б (г - г')6(/ -t')bi}.
Нетрудно проверить, что последние равенства соответствуют коэффициенту
(56). В рамках линейного приближения в (57) вместо случайной концентрации
с (г) можно поставить (55).
Уравнение (57) справедливо как при отсутствии потока через среду, так и
при его наличии. Разница лишь в граничных условиях и в средних
концентрациях. Таким образом, поток через среду оказывает лишь косвенное
влияние благодаря неоднородности средней концентрации.
Найдем для рассматриваемого случая пространственно-временную^
спектральную плотность. Заметим, что уравнение типа (57), т. е. уравнение
с (г) - D Ас (г) = t (г, /),
удобно решать методом преобразования Фурье по t и г. Для случайных
спектров имеем уравнение
(г'со -j- Dk2) с (k, co) = t(A, со), v
откуда находим коррелятор
(c(ku (c)i), c(k,, (c)3)) =
= (г(c); -I- Dk?)"' (гю2 + Dkl)-{ (t (klt (c),), ? (k,, (c)2)). (27.58)
В нашем случае | = div (сУ2Q, причем для отыскания двойного
коррелятора в качестве с достаточно взять среднюю концентрацию (55).
Поэтому
(?(П- к), 1(г2, к)) =
= ^л5тт[('"~№)6('''!)|8(ы (27'59)
(у == jjD), Переходя к спектрам при помощи преобразования Фурье (П6.5) по
каждой паре переменных, отсюда получаем
(1(къ (c)i), t{k2, (c)2)) =
=-----k\k2 (k 1 + k2) -f- /уб; (ki + k2)] б ((c)i + (c)2), (27.60)
где 8'x (k) = 56 {k)/dkx = 6' (kx) 6 (ky) 6 (kz). Подставляя (60) в
(58),
будем иметь
(с (Ih, (c)i), c(k2, (c)2)) =
= - 2DNJxk\k2 (/(c). + Dkf)~x(m2 -f Dkl)-X x
X [Co6 (k\ -f- k2) д- iy8x (k\ -j- Л2)] 6 ((c)1 -1- (c)2). (27.61)
,330
Данный коррелятор соответствует стационарному, но не однородному
случайному процессу. Спектральная плотность в данном случае определяется
формулой (П6.12). Ее можно получить из
(61) по формуле (Г16.13), которая в данном случае записывается в виде
Sc(k, со, г") =
= [ ехр (- ik0rQ) (с (l/2k0+k, со), с (V2- k, со2)) dk0 dco2.
Поскольку начало координат г - 0 является типичной точкой, найдем
значение данной спектральной плотности при г0 - 0. Подставляя (61) в
последнюю формулу, нетрудно получить
Sc(k, со, 0) =
- 2DNa 'k- (со2 -f D2k4)~l [с0 -h 2yDakx (со2 -f- D2k4)~']. (27.62)
Второй член в квадратных скобках дает поправку, обусловленную
неоднородностью средней концентрации, влияющей на уровень шумов.
11. Поток примеси в случае нелинейной диффузии. Поток диффундирующего
вещества через среду будет оказывать более прямое влияние на флуктуации в
случае нелинейной диффузии. При этом уравнение будет иметь вид
с = - div/,
где
А дс дс дс
u~~ lm~d7^~eimi^177
в линейно-квадратичном приближении и
А дс дс дс дс дс дс
- e,mn___?,ronJ____
- в линейно-квадратично-кубическом. Отличие тензора etmi от нуля
обусловлено неизотропностью среды. Остановимся на этом случае и будем
предполагать, что среда имеет одностороннюю преимущественную проводимость
вдоль направления, указываемого единичным вектором п. В связи с этим
следует полагать, что тензор e-imi имеет только продольную часть e/mi =
?п;птп;. Тензор же dim будем предполагать прежним: d[m = D8/m. Для случая
постоянных D и Е в линейно-квадратичном приближении имеем уравнение
с = DAc -f- En-V (п- Vc)2.
Когда п = (1, 0, 0), т. е. вектор п направлен в сторону потока примеси,
данное уравнение записывается так:
I=DAc + E^- (*_)-, (27.63)
Чтобы рассчитать флуктуации, применим марковские методы, т. е. сначала
найдем 1Г, Г'г", а затем поправку к кинетической функ-
331
ции Krr' [cl. Для этого нужно получить уравнение в приведенной форме,
используя равенство
х (г) = RT [сД1 (с (г) - с0) - V 2со2(с (г) - с0)2], (27.64)
получаемое при помощи (23.37) или (8.19). Разрешая (64) относительно с-
с0, находим
с-с0 = с0 [x/RT + 72 (v'RT)2). (27.65)
Это равенство следует подставить в правую часть (63). Рассмотрение,
