Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
равенств (2), (3) являются соотношения
Par..am==(?<v- • ¦, Ват) = -Кт-'Ч>а1...ат =
= -кт-1дтф0 (Х)/дха1 . . . дхат (30.38)
при х =0 типа (29.13), но для приближенной функции Ф0 (х). Точные же
корреляторы определяются равенствами
Ред.. .ат = - Хт-'дтФ (x)jdxai . . . дХат
при х - 0. Итак, мы видим, что уравнения (29.60), (29.61) эквивалентны
уравнениям (11) и (13), если приближенно справедливо (38), т. е., если
разность
дтФ(х)/дха1. . -дхат - <9тФ0 (x)/dxai. . - дхат
при х - 0, т ~ 2, 3 пренебрежимо мала. Чтобы исследовать величину этой
разности, учтем результаты приложения 1, в котором вычислена поправка
Ф (х) - Ф0 (х) =
= In det
Tag
2ях
-о- фоДубфаИдб + О (и4) (30.39)
к функции Ф0 (х). Эту поправку можно рассматривать как меру разности Ф
(х) - Ф0 (х). Отбрасывая в (39) член порядка к2 и производя
дифференцирование, имеем
<ЗФ(Х) 5Ф0 (X) X -1 ,-1 ,/->/21
-к*--------------= +
(см. (П4.6)). Повторное дифференцирование дает д2Ф (х) __ д2Ф" (х) __
дхадх$ дхадхр ~
- ~2~ Фа1>Фрб ^v6pv Ф7брфрафо:|^ Фуррфрафотб) Tpv О (х ).
(30.40)
По мере приближения к критической точке при (c) -> (c)с матрица фар стремится
к бесконечности. Разность (40) при этом весьма быстро
360
возрастает до бесконечности. Еще быстрее возрастает разность более
высоких производных. Это свидетельствует о том, что зависимость Ф (х, х)
от х при х = 0, 0 = 0С является неаналитической. Следовательно,
равенством (38) в критической области пользоваться нельзя, и уравнения
(29.60), (29.61) становятся неприменимыми.
6. Пример квазиэнергии вблизи неравновесного фазового перехода.
Неустойчивость Бенара. Бенар обнаружил, что в покоящейся жидкости,
помещенной между двумя горизонтальными параллельными плоскостями,
температуры которых Тх и Тг поддерживаются различными, при определенной
разности температур Тх - Т2 скачком возникает конвективное движение
жидкости, причем вихревые конвективные потоки образуют регулярную
периодическую ячеистую структуру (ячейки Бенара). Необходимым условием
конвективной неустойчивости неподвижной жидкости является более высокая
температура нижней плоскости. Тогда жидкость, нагреваясь от нижней
плоскости, становится относительно более легкой и стремится подняться.
Верхние же более холодные слои жидкости стремятся опуститься.
1) Направим ось г вверх. Пусть нижняя граница жидкости имеет
координату z = 0, а верхняя z = I. Постоянный градиент температуры в
жидкости запишется в виде
Т0 (г) = Тх - Мг, (30.41)
причем М > 0; тогда Тх - Т2 = Ml. Кроме того, введем малое отклонение О
(г) от Т0, полагая
Т = То + О. (30.42)
Для простоты будем предполагать, что плотность жидкости совсем не зависит
от давления и слабо зависит от температуры: р = = F (рТ), где р -¦ малый
параметр. Тогда величина р, определяемая равенством
р = -р-Др 1дТ, (30.43)
будет мала, т. е. пропорциональна р (Р = -рF'lF), а вторую
производную д2р!дТ2 можно будет вообще не учитывать. Принимая во
внимание (42) и (43), будем иметь
р = Ро + (др/дТ) Ф = Ро (1 - РФ), (30.44)
где ро = [р)г=7'0.
Возьмем за исходные уравнения уравнение Навье-Стокса с учетом поля
тяжести
(r) + ((r)- V)v = -P-1V/0 + g + v V2(r) (30.45)
и уравнение теплопроводности с учетом конвекции
Т f (v-V)T = yy2T, (30.46)
где % - коэффициент теплопроводности; g = (0, 0,-g).
361
Если в (45) положить v ------ 0, а также О = 0, в силу чего р будет
совпадать с р0 = Гр 1 r0 - pi (1 + PA4z) (исполъзовано (41)), то получим
уравнение
-Vp0 4- gpo - 0, (30.47)
определяющее невозмущенное давление
Ро (г) = Pi - gpL (z -f V3pAfz2).
В силу малости р имеем рО " 1. Поэтому при учете (44) получаем (Г' = Ро!
(1 - pfl)"' " ро1 (1 + рО). . (30.48)
Используя (47), (48) и подставляя в (45) равенство р- = р0 + р', которое
служит определением возмущенного давления р', находим
v -f (г)• V)v = -po'Vp' - ро'рО V (ро р) -\- v У2г>
или, если еще раз учесть (47),
v -f (v- V) v = -po'Vp" - Pg'O - po'pO \p -f v У2г>. (30.49)
Подставляя T - 7\ - Mz + О B (46), найдем уравнение, которому
удовлетворяет возмущение §:
О - Mvz -I (v ¦ V) & - х V20. (30.50)
К полученным уравнениям (49), (50) следует добавить условие несжимаемости
У-г) = 0. (30.51)
Конечно, рассматриваемую жидкость нельзя считать полностью несжимаемой,
иначе исчезнет причина неустойчивости. Именно изменение плотности, т. е.
сжимаемость, привело к появлению в (49) членов с р. Однако после
появления этих членов, допуская известную погрешность, уже можно принять
условие несжимаемости.
2) Итак, мы получили уравнения, описывающие рассматриваемый процесс.
Для решения вопроса об устойчивости и для расчета флуктуаций вокруг
стабильного состояния в линейном приближении следует произвести
линеаризацию уравнений (49) и (50) по v, й, р'.
Отбрасывая нелинейные члены, будем иметь
v = -pl'V/Z - Pg-d -f- v V2v, (30.52)
0- = Mvt f x V2". 4 (30.53)
В первом из этих уравнений мы заменили р0 на рь используя неравенство рм/
" 1.
Подействуем на обе части уравнения (52) оператором-V 2 rot rot. Поскольку
