Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
350
(усреднение ведется по | при фиксированной функции В (()). Указанная
функциональная производная означает производную от этого среднего:
8%^)в = Ни В] раг [t2,1, В])в.
Соотношение (66) служит немарковским обобщением соотношения (61).
§ 30. Методы расчета корреляторов
вблизи неравновесных кинетических
фазовых переходов в марковском случае
1. Уравнения для производных от квазиэнергии. Если коэффициенты
кинетического уравнения для марковского процесса В (t) известны, то
соотношения (29.60), (29.61) и другие позволяют определить единовременные
стационарные корреляторы (29.59). Так, решая уравнение (29.60), можно
найти |хар. После этого, используя полученные значения |хар, при помощи
(29.61) можно найти |xapv и т. д. При этом каждый раз приходится решать
линейную систему уравнений. Нужно иметь в виду, однако, что указанные
уравнения являются приближенными и их точность быстро уменьшается по мере
приближения к точкам неравновесного фазового перехода, которые будут
рассмотрены в дальнейшем. В критических точках и близко к ним уравнения
(29.60), (29.61) и другие становятся неприменимыми. Чтобы получить
уравнения, пригодные вблизи фазовых переходов, целесообразно перейти к
уравнениям для производных от функции Ф' (В).
Чтобы их вывести, получим сначала уравнения для производных
fPtXj... as = д$ф (x)jdxax. . . дха& (30.1)
от функции (29.10), взятых в нулевой точке х - 0. Оставляя в (29.58)
главные члены, имеем
^с,, р == &а, уфуР' ^а, Pv = аФчРу "1" &а, сгтфарфту
и, кроме того,
^ар"^ар> ^аР, 7= ^Чр, афау> ^аРу == ^Чру
(использованы формулы типа (29.57)). После подстановки этих равенств в
(29.54) и (29.55) находим
^Ч, сгфсгр + ^р, офсга == ^ ^Чр> (30.2)
3 \ka> афоРуКут "}" 3 \ka> атфорфту^ут
- Зх"1 \ka^ офбуЬут + *"2?aPv = °- (30-3)
Здесь и в дальнейшем sym обозначает симметризацию по тем индексам, по
которым не производится суммирование, скажем,
\^а, афору|sym == */з (^Ч, офору "Ь ^Р, афаау Ь ^у, афаар)-
351
Введем теперь производные
^al...as=0'Y(B)ldBa1...dBas (30.4)
от квазисвободной энергии в точке В = 0 минимума этой функции.
При малых х можно считать, что функции ф (В) и Ф (В) связаны
преобразованием Лежандра
Ф (х) = Ф (В (х)) - В (х)х (х (В) = дф (В)/дВ). (30.5)
f
Эта формула асимптотически мало отличается от точной формулы связи
(29.10). Из преобразования Лежандра (5) вытекает, что функции
<ЗФ (В)/дВа = ха, -дФ (х)/дха = Ва (30.6)
являются взаимно обратными. Представим функции в (6) в виде ряда Тейлора,
используя (1) и (4). Получаем взаимно обратные разложения
ФарЛр + ФаФаРуЯрЯу -(-••.= ха, (30.7)
Фар*р + ФгфаРу^у -Ь = - Ва. (30.8)
Запишем (!) в форме
Лр == фра (х'сь ФгФаотВоВх * * ' )•
Производя итерации, отсюда получаем
Ва == Фар (ф> ФгФратфарфтуЛрВу (30.9)
Сравнивая (9) с (8), находим
II фар 1= || Фар I > фару= фарфратфорфту (30.10)
Подставим теперь (10) в (2), (3). Это дает
фау^у, р ~Ь ФРу^У, а == фау^убфбр, (30.11)
3 [ka, афарф'ргяфтрфлу 1 sym |-з [k а, ат фарфту! sym
+ 3{Л"р,оф^}яут + Л"зу = 0, (30.12)
где kav..am, р1...рп =K~mkar..am, Pr-.Pn. УмНОЖЭЯ (12) МЭТрИЧНО на IФарI>
можно найти
3 {фар&р, уфу).ф?.ру}sym == 3 {фар^р, py}sym -ф
-ф 3 {фарфру^ H,v, y}sym + фарфруфу?^ру?.. (30.13)
Применяя описанный метод, можно получить и третье уравнение
4 {фар^р, уфуяфхРуб}sym == 4 |фар&р, Рубфут -ф
"Ф 6 {^р, арфрубфут "ф 3 {фаРр^руфууб}sym -ф 12 (фар^ру, sym +
+ 6 {фарфруб ц-V, yfilsym + 6 {фарфру^ру).ф?,уб}зут -ф
"Ф 4 {фарфруфуХ^рУХ, бфут -ф фаифр).фурфбу^иЯ,рУ (30.14)
352
Здесь в каждом члене число перед скобками совпадает с минимальным числом
членов, необходимых для симметризации по индексам а, |3, у, б выражения,
стоящего в скобках.
Следует отметить, что полученные уравнения можно вывести также из
равенства (29.9).
Заметим, что в случае уравнения Фоккера-Планка и при выполнении условия
потенциальности
д(КауКт)/дВр = д(Кё1Ку)1дВа
функцию ? (В) и производные (4) целесообразно находить не из приведенных
выше уравнений, а из уравнения (29.9), которое принимает вид
При условии потенциальности выражение в скобках обращается в нуль, и мы
получаем
dW (В)/дВа = -2хКаЪКц(В).
Отсюда легко найти производные (4), а затем интегрированием и функцию Ч1
(В). Если к тому же /Сар не зависит от В, то видим, что в нелинейной
области справедливо уравнение Оизагера (Ва) = = Ка = -Bapd? (В)/дВр при =
(2k)-1 Кар- В общем случае описанное упрощение не имеет места.
2. Мультистабильность. Неравновесные кинетические фазовые переходы.
Предположим, что оператор кинетического уравнения, а значит, и
кинетический потенциал зависят от внешнего параметра или параметров 0.
При этом функция ? (В), удовлетворяющая уравнению (29.9), т. е. уравнению
V (дх?/дВ, В, 0) = 0, (30.15)
будет зависеть от 0. В роли 0 могут выступать, скажем, внешние силы h или
внешние потоки /ех.
Пусть при фиксированном 0 функция ? (В, 0) имеет изолированные минимумы в
точках В?, ..., В", которые, естественно, зависят от 0 и которые называем
стабильными точками. Если указанные минимумы лежат не на границе
