Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
полное число переменных г равно двум, а I = 1, т. е. система
открыта по одной переменной и закрыта по другой. Если в системе,
изображенной на рис. 3, б, устремить С2 и Q' к бесконечности, то в
уравнениях (36) сила h2 будет неизменной. При этом такая форма уравнений
предпочтительнее. Если же в исходной системе убрать емкость С и вместо
нее включить большое сопротивление, сделав одновременно э.д.с. h2
большой, то в уравнениях (37) внешний ток /ех будет практически
неизменным во времени, и следует пользоваться именно такой формой
уравнений.
Заметим, что в уравнениях (36) при любых степенях неравно-весности
выполняется соотношение взаимности
ll, 2 ^ е1е2^2, 1 = -^2, 1>
но не соотношение Онзагера. Поэтому теоремы из п. 4 к данному примеру
применять нельзя.
7. Нелинейная открытая система с двумя емкостями. Рассмотрим другой
пример открытой системы. В ней все параметры будут четными по времени.
Соответствующая схема изображена на рис. 27.4. Она содержит две емкости
Съ С2, три нелинейных сопротивления с характеристиками gt (/), i = 1, 2,
3, и источник тока с э.д.с. Н3. В качестве параметров Ах, А2 возьмем
заряды Qb Q2 на емкостях. Обозначая токи, как показано на рис. 4, будем
иметь уравнения
ёз (/3) = 4" g2 (12 + ^з) = Q1/C1 Q2/C2,
Si (Л + h + h) = -Q1IC1, выражающие баланс напряжений. Разрешая эти
уравнения относительно токов, получаем
Ql = /1 = /1 (-Q1/C0 - fAQi/Сг - Q2/C2),
Q2 = ^2 = /2 (Q1/C1 Q^/CA /3 (/i3 -f- Q2/C2), (27.38)
^3 = /3 (h3 + QJc2)
(функции fi обратны gt). Приравнивая нулю левые части первых двух
уравнений системы (38), получаем уравнения, определяющие стабильные
значения
Q?/C, = *?, фсг = х\.
324
Третье уравнение дает стабильное значение тока /3. Подставляя QilCt = х°
+ 6Q,/C,. 1 = 1,2, (27.39)
в первые два уравнения и производя линеаризацию, находим уравнения для
отклонений
6 Ql = - (- х?) б Q,/C, - /2 (х? - х§) (б(?,/С, - б Q2/C2), 40
6Q2 =/2 (х? - хЦ) (6Q,/C! - 6Q2/C2) - /3 (Аз + х°2) 6Q2/C2-
Энергия данной системы равна F0 = W = Q?/(2Cj) -f- Qi/(2C2). Подставляя
сюда (39), по формуле (15) получаем
42) = Ео (С?°) + 6Q?/(2C,) + 6Q|/(2С2). (27.41)
В соответствии с (16) отсюда находим силы бхх = 6QX/CX, бх2 = бQ2/C2.
С их помощью уравнения (40) записываются в виде
6Q1 = - /1' (- х?) 6x1 - /2 (х? - х2) (6x1 - бх2)' = /1, 16x1 + /), 2бх2,
6O2 = /2 (х? - х2) (6x1 - бх2)- /з (Л3 -)- х2) бх2 = /2, 16x1 -)- /2,
2бх2.
Они представляют собой конкретизацию уравнений (18). Видим, что
соотношения Оизагера /х, 2 = 1%, i выполняются при любом Л, т. е. при
любой степени неравновесности. Кроме того, как легко проверить, учитывая
(41), выполняется условие (20). Поэтому теорема 1 из п. 4 в данном случае
применима, так что равенство (21) имеет место. Более того, при
неотрицательных производных /1 (-х?), /2 (х? - х2), /з (Л3 -{- х2)
выполняется условие (23), так что теорема (2) также применима.
Отметим, что, как показано в [58], в произвольных электрических цепях,
содержащих линейные индуктивности и емкости, а также обычные двухполюсные
нелинейные сопротивления, соотношения Оизагера - Казимира справедливы при
любых степенях неравновесности.
Если в двух приведенных примерах открытых систем неравновесное
стационарное состояние не слишком удалено от равновесного, так что
функции /х- (К) в (36) и (38) можно представить разложениями
fi(V) = RT'V + 1/* У/К2
или
/ИЮ^яг^ + ЧзУ/кЧЧвб/Е3,
то для расчета шумов в них могут быть применены марковские или
немарковские методы, изложенные в §§ 11-13, 22, 23.
8. Пример открытой системы с теплообменом. Пусть имеются два тела,
обменивающиеся теплотой. Их температуры обозначим Т
325
и Т'. К первому телу извне подводится поток теплоты /ех = = dQeJdt, что
делает систему открытой (рис. 27.5). Закон теплообмена предполагаем
линейным. Тогда внутренние энергии U, U' указанных тел изменяются в
соответствии с уравнениями
U = -а (Т - Г) + dQjdt, (]' = а (Т - Г).
Включая данную открытую систему в "большую" закрытую, вводим в
рассмотрение третье тело - тепловой резервуар Р большой теплоемкости
(термостат). Предполагая теплообмен с резервуаром
_________________| линейным, т. е. полагая dQex/dt -
- у (Тр - Т), получим такие уравнения:
U = а (Г - Т) + у (Тр - Т),
1-_______________J 0' = а(Т-Г). (27.42)
Sij '
рис 27.5 Энтропии S, S , Sp трех тел "боль-
шой" системы связаны с их внутренними энергиями U, U', Up известными
равенствами
dS = dUjT, dS' = dU'lT', dSv = dUv!Tv.
При теплообмене трех тел выполняется закон сохранения энергии dU -f- dll'
-f- dUv = 0. Учитывая его, изменение суммарной энтропии можно записать в
виде
dScya = (Т-1 - Т-1) dU f ((Т')-1 - Тр-') dU'.
Отсюда, если учесть' (5.47), нетрудно найти силы
X = - dScyJdU = Тр1 - Т-1,
X' = -dScyJdU' = Тр1 -(Т')Л (27.43)
сопряженные с U и U'. При этом -Тр1 можно интерпретировать как силу
H = -dSp/dUp = -TJl,
действующую со стороны теплового резервуара. Равенства (43), т. е.
равенства
X = -Т-1 - Н, X' = -1 /Т' ~Н
