Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
') J. I, F. К і п g, частное сообщение, 1958,
ISO
Глава 4
бессиловой системе ток jz постоянен в области r<R, a Bi в этой области есть убывающая линейная функция 5. Несмотря на то, что такая система является бессиловой, натяжения не равны нулю. Вблизи оси, где В направлено преимущественно вдоль г, силовые линии имеют тенденцию отталкиваться друг от друга. Необходимое уравновешивающее натяжение создается за счет компоненты B9 на больших расстояниях, где натяжение вдоль силовых линий стремится переместить эти силовые линии внутрь.
Остается еще определить радиальное электрическое поле Er и скорость V в самосжимающемся разряде. Эти величины связаны соотношением (2.21), которое, если пренебречь членом T]j, принимает вид
Er - VzBо + V9Bt - = 0. (4.32)
Условия стационарности недостаточны для определения этих величин, и мы вынуждены проанализировать процесс установления. Скорость, полученная из уравнения (4.32), перпендикулярна как к В, так и к г. Из уравнения движения (2.11) следует, что изменить эту скорость может лишь радиальный ток /г, который вызывает пондеромоторную силу в направлении г X В. Поскольку всякий сколько-нибудь заметный радиальный ток связан с большим электростатическим полем Er, можно ожидать, что скорость v останется малой. Покажем, что это действительно имеет место. Упростим исследование, полагая, что Bz равно нулю; тот
же самый результат получается и в более общем случае.
Составляющая уравнения (2.11), параллельная оси г, имеет вид
P^f = JAr (4.33)
Кроме того, проектируя уравнение (2.19) на направление г, получаем соотношение
= (4-34)
Равновесие и устойчивость
151
с помощью которого МОЖНО ИСКЛЮЧИТЬ /г из уравнения (4.33).
Чтобы выполнить интегрирование по времени получающегося при таком исключении уравнения, предположим, что рIBh не меняется во времени при формировании пинча. Для самосжимающегося разряда такое предположение не слишком близко к действительности, но оно дает приблизительную оценку ожидаемого эффекта.
Тогда из уравнения (4.33) окончательно имеем
Ег = -^Щ~^ (4.35)
причем мы приняли, что и Er и Vz вначале равны нулю. Сравнивая соотношения (4.35) и (4.32) (с заменой dpi/dr на dpt/dr) и исключая Er, получаем
vt = ~ KeneBb ~W ’ ^4*36)
где К — диэлектрическая проницаемость, которая выражается формулой (2.33). Если бы составляющая Er равнялась нулю, то скорость Vz определялась бы формулой (4.36), в которой К равно единице. Таким образом, при больших К радиальное электростатическое поле почти полностью гасит скорость, которая могла бы возникнуть из-за градиента давления ионов.
Аналогичное заключение было сделано Спитцером [19] в несколько отличающемся случае. Если плазма удерживается магнитным полем, а температура возрастает, то можно было бы предполагать, что скорость вещества V, перпендикулярная к В и Vpf, увеличивается с ростом Vpi в соответствии с уравнением
(2.23). Однако в этом случае на ускорение должны влиять также электрические токи, направленные вдоль градиента да-вления; поскольку эти токи создают электростатическое поле, параллельное Vpf, результирующая скорость уменьшается в К раз по сравнению с ее величиной в отсутствие электростатического поля,
152
Глава 4
б. Устойчивость. Если в состоянии равновесия силовые линии искривлены, то неустойчивость может существовать даже при отсутствии ускорения. Как и в предыдущем параграфе, исследуем здесь неустойчивость поверхности раздела, при пересечении которой давление терпит разрыв. Так как магнитное давление, обусловленное полем B1, увеличивает устойчивость, рассмотрим сначала пинч в цилиндрической плазме, когда компонента Bz равна нулю.
Изменение потенциальной энергии из-за возмущений поверхности раздела определяется формулой
(4.6). Как и в плоской геометрии, сумма давлений р+ B218л непрерывна при переходе через поверхность раздела. Примем, что граница характеризуется некоторой величиной скачка (р); для удерживаемой плазмы давление р снаружи меньше, так что величина (р) отрицательна. Производную дВ2/дг находим из уравнения (4.26); она равна—2В\/г, поскольку др/дг, по предположению, равна нулю. Отсюда получаем
Отсюда следует, что приращение бWs отрицательно, если отрицательна величина (р), т. е. если давление р снаружи цилиндрической границы меньше, чем внутри.
Неустойчивость появится при любом возмущении |, для которого вкладе приращение б№, обусловленный деформациями внутри плазмы, пренебрежимо мал. Поэтому мы опять рассмотрим такое возмущение %, для которого V -|=0, а член (В* V)| исче*
Равновесие и устойчивость
133
зающе мал. Если длина волны возмущения достаточно мала по сравнению с г, то этим требованиям приближенно удовлетворяет выражение (4.16), где следует х, у и z заменить соответственно на г, г и 0. Изменения потенциальной энергии в объеме газа и снаружи в вакууме пренебрежимо малы, и вместо соотношения (4.17) теперь получаем
это выражение применимо, если кг значительно больше единицы. Это другой пример желобковой неустойчивости, которая теоретически всегда существует на границе раздела, если силовые линии обращены выпуклостью в область меньшего давления плазмы, а магнитное поле не имеет скоса.
